§ 3.7. ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ. ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

В любой задаче статистического решения вид оптимального решающего правила определяется такими факторами, как характер принимаемых решений, используемый критерий оптимальности, наличие и достоверность априорных сведений и т. д. Можно было бы ожидать, что изменение любого из этих факторов приводит к существенному изменению решающего правила, к изменению преобразований, которым подвергается наблюдаемая реализация в процессе решения. Однако уже результаты предыдущих параграфов показывают, что это, по меньшей мере, не всегда так. Во всех рассмотренных задачах решение принималось на основании сравнения некоторых интегралов от функции правдоподобия или отношения правдоподобия Таким образом, образование функции или отношения правдоподобия для наблюдаемой реализации у входит во все рассмотренные оптимальные с той или иной точки зрения решающие правила. Это является следствием более общей закономерности, обсуждаемой ниже.

Наблюдаемая выборка или реализация, на основании которой принимается решение, наряду с полезной информацией, касающейся принимаемого решения, содержит излишнюю информацию. Например, принимаемый сигнал содержит сведения об уровне шумов приемного устройства. В процессе обработки сигнала, предшествующей принятию решения (например, при образовании отношения правдоподобия, предшествующем сравнению этого отношения с порогом), излишняя информация частично устраняется. При этом, если обработка сигнала оптимальна, при всех преобразованиях сигнала должна полностью сохраняться полезная информация, так что результат каждого преобразования может быть использован вместо исходной реализации при принятии решения без уменьшения достоверности этого решения. Результаты преобразований такого рода принято называть достаточными статистиками [48]. Говорят, что преобразование сохраняет всю полезную информацию о содержащуюся в у, если для всякого способа принятия решения о на основании у существует способ принятия решения о на основании приводящий к тому же закону распределения

для принимаемых решений при любом . При этом любой риск, достижимый при использовании у (при любой функции потерь), достижим и при использовании

Из определения очевидно, что достаточными статистиками являются, в частности, сама реализация у и результаты любых взаимно однозначных преобразований этой реализации (например, усиления). Однако эти достаточные статистики содержат наряду с полезной информацией также и всю излишнюю информацию, содержащуюся в у. Излишняя информация устраняется лишь при необратимых преобразованиях, при которых один и тот же результат получается для некоторой совокупности исходных реализаций. Среди необратимых преобразований существует [48] такое, при котором излишняя информация устраняется в максимальной степени, возможной при условии сохранения полезной информации. Результат такого преобразования называется минимальной достаточной статистикой. В теории доказывается [48], что при достаточно общих условиях минимальной достаточной статистикой является совокупность значений отношения правдоподобия при всех , а также, очевидно, любых взаимно однозначных функций этого отношения.

Отсюда следует, что приемное устройство, на выходе которого образуется одна из минимальных достаточных статистик (например, для всех априори возможных является достаточным в том смысле, что выходные данные такого приемника могут использоваться вместо у при принятии любых решений, касающихся без уменьшения достоверности этих решений. Любые последующие необратимые преобразования этих выходных данных должны быть непосредственно связаны с видом априорного распределения и характером принимаемых решений. Результаты этих преобразований уже будут достаточными статистиками не для любых решений относительно а лишь для вполне определенных. Такой достаточный приемник следует считать оптимальным в тех случаях, когда характер принимаемых решений может изменяться в процессе работы диолокатора и требования к решающим правилам не удается сформулировать достаточно четко. Это, в частности, относится к тому случаю, когда решения

принимаются оператором, который руководствуется неясными, вообще говоря, соображениями, не всегда поддающимися количественному учету.

Достаточный приемник можно представить себе в виде совокупности каналов, в каждом из которых образуется, например, для одного определенного значения 5. В некоторых задачах могут использоваться не все каналы, а лишь определенная часть. Так, при построении оптимального дискриминатора следящей системы достаточно использовать два канала, расстроенных по соответствующему параметру. Оптимальные системы обнаружения обычно включают все каналы в априорном интервале параметров щели. Континуум каналов для всех 5 при этом, как уже отмечалось ранее, обычно заменяется конечным числом каналов, расстроенных по соответствующим параметрам настолько мало, чтобы от канала к каналу менялось несущественно.

Описанный подход к оптимизации радиолокационных приемников, при котором приемник считается оптимальным, если на его выходе образуется минимальная достаточная статистика, был сформулирован в [49]. Значительно ранее в работах Вудворда и И. Дэвиса [50, 8] был сформулирован так называемый принцип обратной вероятности, согласно которому выходом оптимального приемника должна быть любая монотонная функция апостериорного распределения вероятности для возможных ситуаций

При этом авторы исходили из того, что апостериорное распределение полностью характеризует неопределенность в отношении действительной ситуации сохраняющуюся после приема сцгнала у, и, следовательно, содержит всю информацию о содержащуюся в у. Формально принцип обратной вероятности является частным случаем более общего подхода, связанного с понятием достаточных статистик достаточная статистика], однако практически результаты, получаемое с помощью обоих подходов, совпадают.