§ 3.3. ДВУАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим простейшую задачу теории решений, когда на основании наблюдения реализации у должна быть принята одна из двух альтернатив, исключающих друг друга, например «цель есть» и «цели нет». В этом случае любое детерминированное решающее правило представляет собой способ разбиения множества возможных реализаций у на две части Если наблюдаемая реализация у принадлежит к подмножеству принимается решение Если

принимается решение Выражение для среднего риска записывается в этом случае в виде

Сумма интегралов в (3.3.1) будет наименьшей в том случае, если каждая реализация у будет отнесена к той области для которой подынтегральное выражение, входящее в (3.3.1) при интегрировании по этой области, будет меньше. Отсюда вытекает следующее решающее правило: решение принимается, если для наблюдаемой реализации у

решение принимается, если выполнено обратное неравенство. Величины, стоящие в числителе и знаменателе в левой части (3.3.2), можно рассматривать как характеристики апостериорного риска, связанного с принятием решения или при наблюдении у. В самом деле, эти величины с точностью до множителя, не зависящего от совпадают с результатом усреднения по апостериорному распределению Таким образом, полученное решающее правило имеет очевидный смысл: принимается то решение, для которого апостериорный риск, соответствующий реализации у, минимален.

Почти во всех практических задачах можно указать такое разбиение множества возможных ситуаций на подмножества что при решение является правильным и потери отсутствуют а при решение является правильным и причем если если Так можно сделать, например, в задаче обнаружения, если под понимать отражающую поверхность цели Если (цели нет), то решение о том,

что ее нет является правильным, а принятие решения, что цель есть влечет за собой определенные потери. Если то принятие решения не приводит к потерям, а потери (потери, связанные с пропуском цели) можно считать независящими от

При указанных ограничениях из (3.3.2) получаем

где

представляет собой условную вероятность получения реализации у при условии, что а

Таким образом, в рассматриваемом случае решение принимается на основании сравнения с порогом отношения условных вероятностей называемого отношением правдоподобия. Величина порога зависит от величин рисков и априорных вероятностей ее можно рассматривать как отношение ожидаемых величин риака для случаев при принятии заведомо неправильных решений.

Неравенство (3.3.3) можно трактовать и как сравнение с порогом отношения апостериорных вероятностей

Решение принимается в том случае, если апостериорная вероятность того, что оно правильно, в раз больше, чем вероятность того, что оно неправильно.

Операцию, определяемую неравенством (3.3.3), можно, очевидно, заменить сравнением с соответствующим порогом любой монотонной функции отношения

правдоподобия. Обычно в качестве такой функции используется логарифм.

В задачах обнаружения множество для которого - правильным является решение, что цели нет, обычно состоит из одного элемента (параметры шума или помехи заданы), а множество может содержать большое число элементов (параметры обнаруживаемой цели могут быть различными). При этом

где отношение правдоподобия для случая единсхвенной возможной совокупности параметров цели, априорное распределение параметров.

Таким образом, отношение правдоподобия для обнаружения цели, параметры которой заключены в некото-. рой области получается усреднением отношений правдоподобия для различных конкретных значений 5 параметров по всем возможным значениям

При сделанных предположениях о функции потерь средний риск определяется формулой

где вероятности ошибок при соответственно. В теории обнаружения эти вероятности называются обычно вероятностями пропуска цели и ложной тревоги

Для определения величины риска необходимо вычислить вероятности и соответствующие рассматриваемому решающему правилу, и подставить их в (3.3.8). Вместо вероятности пропуска часто рассматривается вероятность правильного обнаружения

В задачах, для которых величины потерь могут быть заданы лишь весьма условно, а априорные вероятности точно не известны, представляется оправданным

использовать в качестве характеристик решающего травила не величину среднего риска, а непосредственно вероятности ошибок и искать оптимальное решающее правило, исходя из требований, предъявляемых из тех или иных соображений к этим вероятностям. Можно, в частности, потребовать минимум при заданном Такой критерий оптимальности решающего правила известен под названием критерия Неймана — Пирсона и широко используется в задачах двуальтернативных решений. Можно показать, что оптимальное решающее правило, соответствующее этому критерию, также сводится к «равнению с порогом отношения правдоподобия, причем величина порога определяется заданной вероятностью

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что любое другое правило дает большую вероятность при том же Пусть заданы множества реализаций такие, что при в соответствии с оптимальным правилом принимается решение а при о же решение принимается в соответствии с рассматриваемым неоптимальным правилом. Будем обозначать через совпадающую часть этих множеств, а через их несовпадающие части. Тогда, учитывая, что к множеству принадлежат все у, для которых получаем

Добавляя и вычитая в правой части неравенства с легко убедиться, что множитель при с в правой части равен нулю и, следовательно,

вероятность для неоптимального решающего правила больше, чем для оптимального.

Чтобы сравнивать различные решающие правила, не прибегая к среднему риску, удобно использовать зависимость или двух решающих правил лучшим, очевидно, следует считать то, для которого при одних и тех же вероятность больше.

В задачах обнаружения зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги называется обычно характеристикой обнаружения. Для характеристики обнаружения, соответствующей сравнению отношения правдоподобия с порогом, удается установить ряд весьма интересных свойств, не конкретизируя статистических свойств наблюдаемого сигнала.

Если законы распределения для отношения правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала от цели (в общем случае двуальтернативного решения при соответственно, то для имеем

Для выяснения свойств зависимости рассмотрим связь между Характеристическая функция, соответствующая определяется выражением

Дифференцируя по и меняя интегрирование по у и дифференцирование местами, легко убедиться, что

откуда

Полученное соотношение имеет глубокий смысл и может быть обосновано чисто качественными рассуждениями. Выше было доказано, что оптимальным способом принятия решения в случае двух альтернатив является сравнение с порогом отношения правдоподобия. Допустим, что мы построили прибор, образующий отношение правдоподобия для наблюдаемой реализации у, и хотим теперь выбрать способ принятия решения. При этом в наших рассуждениях в качестве наблюдаемой реализации должно фигурировать отношение правдоподобия и, чтобы уменьшить вероятности ошибок, мы должны принимать решение, сравнивая с порогом отношение правдоподобия для этой реализации, т. е.

Такую процедуру можно повторять сколько угодно раз и рассматривать последовательно причем величина порога, с которым сравниваются отношения правдоподобия различных порядков, остается неизменной, так как зависит только либо от цен ошибок и априорных вероятностей рассматриваемых альтернатив (в случае минимизации среднего риска), либо от допускаемой вероятности (для критерия Неймана — Пирсона). Все получаемые таким образом решающие правила являются оптимальными и должны быть эквивалентны. Отсюда следует, что т. е. (3.3.11).

Используя (3.3.11), можно установить ряд интересных свойств характеристики соответствующей оптимальному решающему правилу. Для производной из (3.3.10), (3.3.11) получим

Величина порога, очевидно, монотонно убывает с увеличением Таким образом, производная монотонно убывает с увеличением Интегрируя (3.3.12), получаем

В целом ряде случаев использование найденных общих соотношений существенно упрощает расчет характеристик обнаружения. В следующем параграфе мы применим полученные результаты для решения одной практически важной задачи.