§ 4.2. ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ И ЕГО СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ГАУССОВЫХ СИГНАЛА И ПОМЕХИ

Как уже отмечалось в гл. 1, принятый сигнал, представляющий собой сумму когерентного сигнала, отраженного от цели, и помех, для весьма широкого класса случаев может рассматриваться как нормальный случайный процесс и характеризоваться функционалом плотности вероятности

где коэффициент, не зависящий от реализации принятого сигнала функция, являющаяся непрерывным аналогом матрицы, обратной корреляционной матрице.

Функция связана с корреляционной функцией уравнением (1.4.2).

Отношение правдоподобия выражается формулой

где решение уравнения (1.4.2) при , равном функции корреляции помехи — решение того же уравнения при равном функции корреляции смеси сигнала и помехи

Комбинируя уравнения для легко показать, что функция

входящая в (4.2.2), должна удовлетворять уравнению

Поскольку коэффициент перед экопонентой в (4.2.2) не зависит от принимаемой реализации, можно, очевидно, принимать решение о наличии цели на основании сравнения с соответствующим порогом функционала

Чтобы выяснить характер операций над принятым сигналом, приводящих к образованию нужно найти в явном виде функцию из уравнений (1.4.2) и (4.2.4). К решению этих уравнений и сводится, таким образом, задача синтеза оптимальной системы обнаружения.

Некоторые заключения относительно возможных способов реализации этих операций можно сделать и не решая указанных уравнений. Из симметрии функции корреляции и уравнений для следует, что эта функция также симметрична, т. е.

Разбивая интеграл по в (4.2.5) на два (от до и до и используя указанное свойство нетрудно привести (4.2.5) к виду

В этой формуле функцию можно рассматривать как импульсную реакцию линейного фильтра.

Рис. 4.1. Функциональная схема оптимальной системы обнаружения: 1 — фильтр с импульсной реакцией , 2 - интегратор за время Т; 3 - реле.

Таким образом, образование сводится к пропусканию принятого сигнала через фильтр, умножению полученного сигнала на выходе снова на принятый сигнал и интегрированию. Соответствующая этим операциям блок-схема приемного устройства приведена на рис. 4.1. Такая интерпретация оптимальных операций была предложена в [53].

Для получения характеристики обнаружения, соответствующей сравнению с порогом, необходимо знать закон распределения величины при наличии и отсутствии в сигнала, отраженного от цели. Вычисление этого закона в явном виде требует, безусловно, задания функций корреляции помехи и полезного сигнала. В общем виде удается получить лишь выражение для характеристической функции, соответствующей этому закону распределения. Чтобы это сделать, заменим временно интегралы в (4.2.5) суммами

где целая часть отношения

Совместное распределение величин имеет вид

где функция корреляции принятого сигнала; соответствующее решение уравнения (1.4.2).

Для характеристической функции величины имеем

Для вычисления этого определителя можно воспользоваться методом, описанным в § 1.4. В результате получаем

где функция определяется из уравнения

а

Следует отметить, что при выводе формулы для характеристической функции мы «не предполагали, что функция определяется уравнением (4.2.4) и соответствует оптимальной обработке. В связи с этим эта формула может быть использована и для расчета характеристик обнаружения, соответствующих неоптимальной обработке, если результат ее можно представить в виде при произвольной функции

Часто результат обработки сигнала удается представить в виде квадратичной формы от комплексных функций

причем вещественная и мнимая части распределены по нормальному закону с нулевыми средними значениями, а

Вывод характеристической функции величины вполне аналогичен только что приведенному. Совместное распределение для вещественных и мнимых частей величин можно записать в виде

где обратная матрица.

Заменяя в выражении для интегралы суммами, вычисляя характеристическую функцию прямым интегрированием и переходя к пределу при аналогично (4.2.6) получаем

где определяется из уравнения

Полученные соотношения могут быть без труда обобщены на случай, когда решение о наличии цели принимается на основании нескольких сигналов совместный закон распределения которых является гауссовым, а среднее значение равно нулю. Этот случай встречается, например, при многочастотной работе. При этом

где функция определяется уравнениями

Характеристическая функция в многомерном случае определяется соотношениями:

Аналогично обобщаются соотношения (4.2.6) и (4.2 8).

Подставляя в эти формулы функции взаимной корреляции компонент принятого сигнала

х при наличии и при отсутствии цели, можно, «в принципе, по найденным выражениям для характеристических функций найти соответствующие законы распределения величины и получить выражения для вероятностей пропуска и ложной тревоги.

Соотношения для многомерного случая существенно упрощаются, если принятые сигналы оказываются статистически независимыми (например, за счет большой расстройки используемых частотных каналов). При этом совместное распределение вероятности сигналов равно произведению распределений для отдельных сигналов. В соответствии с этим функционал оказывается равным сумме статистически независимых функционалов для отдельных ситалов

а характеристическая функция случайной величины равна произведению характеристических функций