§ 3.6. МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ОБНАРУЖЕНИЕ ЦЕЛИ С ОДНОВРЕМЕННОЙ ОЦЕНКОЙ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ

Усложним теперь задачу, рассмотренную в § 3.3, считая число взаимно исключающих друг друга альтернатив произвольным Любое детерминированное решающее правило приводящее при любом у к принятию одного из решений сводится в этом случае к разбиению множества возможных реализаций на такие подмножества что при принимается Выражение для среднего риска, соответствующего такому правилу, имеет вид

Чтобы величина риска была минимальной, необходимо каждую реализацию у отнести к такому множеству для которого подынтегральная функция

минимальна. Отсюда следует, что область определяется следующими неравенствами:

Смысл полученного решающего правила очевиден: всегда принимается решение, связанное при данном у с наименьшим риском. Если при каких-либо в (3.6.3) достигается равенство, то такие у могут быть произвольно отнесены к одному из множеств без изменения величины среднего риска.

Необходимость выбора одной из многих альтернатив в задачах обнаружения возникает в тех случаях, когда одновременно с принятием решения о наличии цели необходимо принять определенные решения относительно свойств обнаруженной цели (например, определить дальность до цели или число целей в группе).

Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся задач такого рода. Пусть цель может появиться в одной из точек интервала изменения дальности (или скорости) Требуется обнаружить цель и указать значение X с точностью, достаточной для захвата цели системой автоматического сопровождения.

Будем считать, что для этого требуется определить, к какому из неперекрывающихся интервалов ширина их равна ширине дискриминационной характеристики системы сопровождения принадлежит истинное значение параметра . Имеется возможных решений: цели нет цель есть и цель есть и

Введем три возможных значения функции потерь: (потери, связанные с ложной тревогой), (потери, связанные с пропуском цели), (потери, связанные с неправильным указанием интервала в котором находится цель). Неравенства (3.6.3) при этом принимают следующий вид:

при

при

где априорная вероятность отсутствия цели.

При получается неравенство, обратное (3.6.5). Из (3.6.4), (3.6.5) следует, что решение о наличии цели в интервале должно приниматься при выполнении неравенств

Практически для ряда задач обнаружение цели не в том интервале в котором она находится в действительности, эквивалентно по своим последствиям пропуску цели. Поэтому можно положить . В этом случае решающее правило, определяемое неравенствами (3.6.6), (3.6.7), сводится к сравнению усредненного отношения правдоподобия

с порогом

где априорное распределение при условии, что цель есть.

Отношения правдоподобия, превысившие порог, отбираются и сравниваются между собой. Считается, что цель в этом случае находится в интервале для которого имеет наибольшее значение. Если на интервале примерно постоянно, что обычно имеет место, и то, как показано в § 3.4, обнаружение на интервале приближенно эквивалентно сравнению с порогом отношения правдоподобия в каждой точке. Величина этого порога должна выбираться так, чтобы общая вероятность ложной тревоги осталась неизменной. В

большом числе случаев интервал мал или приблизительно совпадает с шириной интервала разрешения по параметру .

Средний риск для рассматриваемой задачи записывается в виде

где априорная вероятность наличия цели в интервале вероятность не обнаружить эту цель в данном интервале, когда она там находится.

Аналогично можно внести (вероятность ложной тревоги в интервале. Для расчета могут быть использованы свойства зависимостей рассмотренные в § 3.3 и 3.4.

Использованное при рассмотрении разбиение априорного интервала на интервалы конечной длительности является для большого числа практических задач не вполне оправданной идеализацией. Мы как считаем, что следящая система, предназначенная для автосопровождения обнаруженной цели, может настраиваться лишь на определенные дискретные значения параметра X и задачей системы обнаружения является указание того из этих значений, которое ближе всего к истинному. Такие ситуации, безусловно, могут иметь место, однако чаще требуется прямо указать положение обнаруженной цели с точностью, достаточной для захвата следящей системой или для выполнения каких-либо иных задач. При этом на основании наблюдаемой реализации у принимается либо решение об отсутствии цели, либо решение о наличии цели с определенным значением параметра X (или нескольких параметров).

Задачи определения неизвестных параметров закона распределения на основании наблюдения некоей реализации, описываемой этим законом, в статистике называются задачами оценки. Теория оценок с необходимой подробностью будет изложена в гл. 6 т. II. Здесь мы затронем лишь некоторые вопросы теории, имеющие непосредственное отношение к задачам обнаружения с одновременной оценкой параметров цели. При этом будем считать рассматриваемые параметры

неизменяющимися за время обнаружения (т. е. считать их изменения малыми по сравнению с соответствующими интервалами разрешения).

Рассмотрим для простоты случай одного параметра. (Все рассуждения, проведенные для этого случая, непосредственно обобщаются на случай нескольких параметров.) Введем функцию потерь связанных с ошибкой измерения, зависящую от истинного и оценочного значений параметра. Задача оценки совпадает, очевидно, с задачей многоальтернативного решения с бесконечным числом альтернатив. В соответствии с (3.6.3) решение о наличии цели с параметром должно приниматься, если выполнены следующие условия:

Процедура принятия решения, соответствующая этим неравенствам, заключается в следующем. Для всех проверяется выполнение неравенства (3.6.12). Если это неравенство выполняется хотя бы при одном значении , то цель считается обнаруженной. В качестве оценочного значения параметра обнаруженной цели выбирается то значение при котором достигается

Введем функцию потерь вида

где допустимая ошибка, а

Мы считаем, тем самым, что потери отсутствуют, если ошибка не превышает определенной величины (например, полуширины дискриминационной кривой следящей системы), и равна потерям при пропуске, если При введенной функции потерь решение о наличии цели принимается на основании сравнения отношений правдоподобия

с порогом (3.6.9) при всех . Если хотя бы в одной точке то принимается решение, что цель есть, а в качестве оценочного значения параметра выбирается то значение , при котором максимально. В соответствии с результатами § 3.4 при определенных условиях сравнение с порогом можно без потерь заменить сравнением с порогом отношения правдоподобия в каждой точке . Отбор максимального значения при достаточно малых также можно заменить отбором максимума Поскольку в подавляющем большинстве задач априорное распределение неизвестно, целесообразно положить равным наименее предпочтительному распределению, которое обычно оказывается равномерным. При этом зависимость порога от исчезает.

Получаемая в результате этих упрощений процедура принятия решения близка к практически используемой. Обычно априорный интервал изменения параметра заполняется с достаточной плотностью каналами, настроенными на фиксированные значения Выход каждого канала сравнивается с порогом, и цели приписывается значение параметра соответствующее каналу, в котором произошло превышение порога. Если ширина интервала больше разрешающей способности по параметру А, то такой способ определения к практически эквивалентен рассмотренному выше, так как

срабатывание в каналах, расстроенных относительно сигнала цели больше чем на величину интервала разрешения, происходит только за счет шумов и, следовательно, с очень малой вероятностью. Преимуществом данного способа, кроме его относительной простоты, является и то, что о и может быть с успехом использован для одновременного обнаружения нескольких целей, попадающих в априорный интервал

Если радиолокатор, в состав которого входит рассматриваемая система захвата, работает по данным целеуказания, то наличие цели в априорном интервале считается установленным фактом и остается оценить величину ее параметра. Решающее правило в этом случае определяется уравнением (3.6.13). Для функции потерь (3.6.14) при достаточно малом оценка X, определяемая из (3.6.13), практически совпадает с оценкой по максимуму апостериорной вероятности

Если распределение считать равномерным, то А, определяется по максимуму любой монотонно возрастающей функции отношения правдоподобия. На практике обычно и в этом случае выбор А, производится на основании сравнения с порогом, превышение которого при наличии одних шумов мало вероятно. Такой способ может быть использован и при попадании в интервал целеуказания нескольких целей. Сравнение этих способов, представляющее значительный интерес, удается провести лишь для некоторых частных случаев (см. гл. 4).

Вместо функции потерь (3.6.14) могут использоваться и другие, например квадратичная . Если априорное распределение изменяется медленно по сравнению с функцией (функцией правдоподобия), а функция правдоподобия симметрична относительно некоторого в пределах своего основного максимума, то оптимальные оценки, соответствующие симметричным функциям потерь примерно совпадают с оценкой максимума апостериорной вероятности (см. гл.