3.2. ЭЙЛЕРОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ ПЕРЕМЕННЫЕ

К математическому описанию внутренних слоев звезды как сплошной среды можно подойти двумя различными способами. Можно либо описывать состояние данной конфигурации в любой точке пространства в каждый момент времени, либо прослеживать историю каждого элемента массы звезды. Чтобы в общих чертах обрисовать эти способы, введем декартовы координаты в инерциальной системе отсчета. В приложении приведены цилиндрические и сферические координаты; их употребление может быть продиктовано симметрией задачи.

Первый способ, который обычно называют методом Эйлера, дает полное описание звезды с помощью пространственных координат х и времени рассматриваемых как независимые переменные. В этом методе координаты х относятся к фиксированной точке пространства, а не к какому-либо движущемуся элементу массы звезды. С чисто кинематической точки зрения состояние движения описывается полем скоростей

Тем самым сначала вводится понятие скорости частицы жидкости, оказавшейся в момент в положении х. Если, кроме того, мы знаем плотность давление температуру и гравитационный потенциал К, то тогда состояние системы будет полностью определено. Все эти величины следует считать функциями от

Второй способ, метод Лагранжа, состоит в том, что для каждой частицы жидкости отмечается ее исходное положение в какой-то произвольно выбранный начальный момент времени, скажем Рассмотрим для определенности некоторый элемент массы, занимающий при положение предположим, что в следующий момент он переместился в новое положение х. Вектор х определен, таким образом, как функция независимых переменных а течение может быть представлено выражением вида

Для фиксированного значения вектора X выражение (2) описывает траекторию элемента массы с начальным положением В некоторый

данный момент уравнение (2) определяет также, как преобразуется область пространства, первоначально занятая всей массой звезды, в новое положение в момент По самому определению скорость частицы жидкости есть

где частная производная указывает на то, что дифференцирование должно производиться для данного элемента массы, т.е. при постоянном При этом нужно считать, что функции зависят от переменных

Координаты х в уравнении (1) называются эйлеровыми (или пространственными) переменными. В отличие от них координаты X, которые являются метками различных элементов массы, называются лагранжевыми (или субстанциональными) переменными. Благодаря уравнению (2) любая скалярная, векторная или тензорная величина которая описывает движение и является функцией пространственных переменных будет также функцией и лагранжевых переменных и обратно. Однако обозначает значение принимаемое частицей жидкости, находящейся в положении х в данный момент, тогда как это значение в момент времени в элементе массы с начальным положением

Всюду в этой книге при использовании эйлеровых переменных мы будем полагать

причем физически это совершенно разные величины. Эйлерова производная (4) определяет скорость изменения измеряемую наблюдателем, который находится в фиксированной точке х. Соотношение (5) определяет субстанциональную производную так как с ее помощью мы измеряем скорость изменения следуя за элементом массы вдоль его траектории. Используя выражения (2) — (5), можно написать

Соотношение (6) выражает попросту скорость изменения во времени любой функции для наблюдателя, двигающегося вместе с частицей жидкости, которая находится в точке х в некоторый момент Часть этого изменения связана с некоторым локальным приращением в фиксированной точке х, а часть — с перемещением элемента массы в новое положение, где имеет другое значение.

Различие между эйлеровыми и лагранжевыми переменными проявляется особенно отчетливо, если рассмотреть ускорение а частицы жидкости.

В эйлеровых переменных имеем

где зависит от Если же выразить через лагранжевы переменные то вследствие (3) тот же вектор приобретает вид

Теорема Рейнольдса

Ниже нам понадобится следующий результат. Пусть произвольный объем элемента жидкости, т.е. движущийся в звезде объем, который в каждый момент времени состоит из одних и тех же частиц. Рассмотрим скорость изменения во времени некоторой величины

(см. примечание на стр. 51). С помощью непрерывного преобразования (2) можно перейти от движущегося объема в эйлеровых переменных х к фиксированному объему в лагранжевых переменных Тогда можно написать

где

есть якобиан преобразования, который связывает элементарный объем с соответствующим объемом в лагранжевых переменных. Очевидно, тогда мы имеем

С другой стороны, с помощью (2), (3) и (11) тут же получаем тождество

Подставляя (13) в (12), имеем

Из соотношений (5), (10) и (14) следует

С помощью соотношения (6) последнее выражение можно переписать в другой форме:

Наконец, применяя теорему Гаусса, можно написать

где внешняя нормаль к поверхности ограничивающей элемент жидкости. Из соотношений (17) следует, что скорость изменения (9) равна сумме двух слагаемых: 1) скорости изменения в фиксированном объеме который в данный момент совпадает с элементом жидкости и 2) потока величины через поверхность ограничивающую этот объем. Отметим, что формулы (15) — (17) выражают чисто кинематическое свойство, совершенно не связанное с каким-либо физическим законом.