3.5. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ЗАВИХРЕННОСТЬ

Во многих случаях движение жидкости чрезвычайно удобно описывать с помощью поля завихренности

представляющего собой поле мгновенных скоростей вращения жидкости в каждой точке. Линия, которая касается в каждой своей точке соответствующего вектора вихря по определению называется вихревой линией; в любой момент семейство таких линий описывается уравнениями

Точно так же трубка, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через некоторую замкнутую кривую, называется вихревой трубкой.

В силу формулы (78) всегда выполняется соотношение

Следовательно, по теореме Гаусса поток вихря через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

Применяя этот результат к фигуре, представляющей собой участок вихревой трубки, ограниченный по краям двумя поверхностями (рис. 3.2), сразу получаем

Рис. 3.2. Вихревая трубка.

Итак, поток вихря через любое сечение вихревой трубки есть постоянная величина, которая называется интенсивностью трубки. В частности, если площадь сечения бесконечно мала, то величина остается постоянной на всем протяжении трубки. Поэтому вихревые линии не могут начинаться или кончаться внутри жидкости; они либо замкнуты, либо кончаются на границе.

Выведем теперь некоторые кинематические тождества, выражающие скорость изменения вихря при произвольном непрерывном движении. Использовав хорошо известную из векторного анализа формулу

и взяв ротор от уравнения (7), получим

Далее, в соответствии с формулой (80) имеем

откуда

С учетом формулы (21) находим из уравнения (86)

Следуя Эртелю, путем непосредственных вычислений из уравнения (87) можно также получить

где произвольная скалярная, векторная или тензорная функция.

Рассмотрим теперь жидкий контур т.е. проведенную в звезде замкнутую кривую, которая в любой момент состоит из одних и тех же частиц жидкости. Пусть циркуляция скорости вдоль контура равна

где элемент дуги контура. Поскольку контур движется вместе с жидкостью, можно рассчитать скорость изменения этой циркуляции. Предположим, что движение кривой описывается параметрически при помощи уравнения где и отмечает отдельные элементы массы вдоль контура, время. Тогда

Учитывая формулу (3), получаем

Следовательно, согласно определению (7), соотношение (90) сводится к виду

Это чисто кинематический результат, а значит, он справедлив для любого движения вообще.

Для дальнейшего нам нужно знать лагранжево ускорение, которое встречается в формулах (87), (88) и (92). Ограничиваясь моделью идеальной жидкости имеем

Перепишем эту формулу в другом виде. Энтальпия на единицу массы определяется формулой

Поскольку разность значений для двух элементов массы в любой момент равна

получаем

Отсюда следует, что

и уравнение (93) приобретает вид

Взяв ротор от уравнений (93) и (98), находим

или соответственно

Гомэнтропические течения. Чтобы прояснить суть дела, начнем изучение уравнений (87) и (92) со специального случая движений, когда энтропия одинакова во всей массе жидкости. Итак, потребуем, чтобы

в каждой точке системы — такое движение называется гомэнтропическим.

Тогда из соотношений (99) — (101) немедленно следует, что поверхности равного давления совпадают с поверхностями равной плотности.

При помощи соотношений (92), (100) и (101) получаем

Следовательно, в гомзнтропическом течении без трения циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура постоянна (теорема Кельвина о циркуляции). С помощью формулы Стокса мы можем записать ее и по-другому:

где любая незамкнутая жидкая поверхность, ограниченная контуром Итак, поток вихря через любую жидкую поверхность не зависит от времени. Отсюда и формулы (82) следует, что интенсивность вихревой трубки является интегралом уравнений движения.

Другое интересное свойство следует из уравнения (87), которое при сделанных предположениях имеет вид

Следуя Коши, с помощью лагранжевых переменных можно сразу проинтегрировать это уравнение и получить

где начальные значения Как показал Гельмгольц, «это решение просто означает, что частицы, образующие в некоторый момент вихревую линию, продолжают составлять вихревую линию и в любой следующий момент. Доказательство основано на том, что касательная к вихревой линии переносится жидкостью, при этом всегда оставаясь касательной. Пусть компоненты вектора, представляющего в момент элементарный отрезок вихревой линии. Прослеживая его движение, получаем

где новые компоненты этого отрезка в момент Можно предположить, что всегда

где некоторая постоянная. Из формул (105) — (107) следует, что

и вектор с компонентами также направлен по касательной к вихревой линии, что и требовалось доказать. Отметим, что, как следует из формул (107) и (108), величина пропорциональна длине элементарного отрезка вихревой линии.

Негомэнтропические движения. В этом случае положение совершенно иное. В самом деле, из выражений (87) и (99) получаем следующее уравнение:

которое впервые рассмотрел Фридман. Если последнее слагаемое в уравнении (109) не обращается в нуль, то вихревые линии не обязательно вморожены в жидкость, а интенсивность вихревой трубки меняется со временем. В результате в идеальной жидкости, в которой энтропия непостоянна по всей массе, появляется возможность создания и разрушения вихрей.

Почти то же утверждает и теорема о циркуляции, которую доказал Бьеркнес в 1900 г. Из формул (92) и (93) и формулы Стокса получаем

Поскольку поверхности вообще говоря, составляют с поверхностями некоторый угол, циркуляций скорости и интенсивность вихревой трубки не остаются постоянными во времени. Можно указать на следующую простую геометрическую интерпретацию соотношений (110). На плоскости построим изображение кривой (рис. 3.3). Проводя затем на одинаковом расстоянии друг от друга линии и получим ряд ячеек, ограниченных этими линиями. Теорема

Рис. 3.3. Плоскость

Бьеркнеса гласит, что скорость изменения циркуляции в единицу времени вдоль жидкого контура пропорциональна числу ячеек, заключенных внутри кривой Разумеется, число этих ячеек меняется со временем, поскольку в более поздний момент вихревые трубки состоят из других частиц жидкости.

Изоэнтропические течения. Очевидно, условие изоэнтропичности не исключает возможности возникновения и разрушения вихрей в идеальной жидкости. Тем не менее, как мы сейчас увидим, это условие в известной степени упрощает задачу.

Прежде всего если в уравнении (88) мы положим и воспользуемся выражением (100), то в общем случае получим

Следовательно, при изоэнтропических движениях величина

остается постоянной вдоль всего пути каждой частицы жидкости. Заметим, однако, что эта постоянная, вообще говоря, различна для разных элементов массы. Этот результат принадлежит Трусделлу.

Рассмотрим теперь уравнение полной энергии (56). С помощью уравнений (21). (24), (42), (60), (65) и (94) закон сохранения этой энергии можно переписать в таком виде

Таким образом, при стационарных изоэнтропических движениях имеем

Значит, при стационарном изоэнтропическом движении частицы жидкости «полная энергия»

остается постоянной (теорема Бернулли). Эта постоянная опять-таки, вообще говоря, зависит от конкретного выбора траектории.

Наконец, опишем связь между градиентом «полной энергии», градиентом энтропии и завихренностью. Комбинируя выражения (7), (78), (93) и (97), мы легко получаем, что при стационарных движениях

Это соотношение, принадлежащее Крокко и Вазсони, справедливо в самом общем виде для стационарных движений. Легко видеть, что в стационарных гомэнтропических течениях «полная энергия» (115) остается постоянной для всей конфигурации лишь в том случае, когда обращается в нуль в каждой точке.