Приложение В. СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ

Фундаментальное уравнение теории потенциала можно записать в виде

где обычные сферические координаты. Легко убедиться, что в этом уравнении можно разделить переменные и получить частные решения

где неотрицательное, любое целое число. Присоединенные функции Лежандра определяются из дифференциального уравнения

или

где Можно показать, что

Поэтому при поскольку порядок производной в формуле выше, чем степень дифференцируемого многочлена. Кроме того, так как в уравнении встречается только функция для отрицательных может отличаться от лишь постоянным множителем. Наконец, сразу же видно, что для четных функция это многочлен степени , а для нечетных функция равна мжьочлену степени умноженному на В частности, из и находим

где многочлены Лежандра.

Присоединенные функции Лежандра для самых низких значений таковы:

Сферические гармоники периодичны на единичной сфере, причем индексы пит определяют число линий узлов. При линии нулей делят единичную сферу по ширине на области с разными знаками. В частности, при единственной линией узлов является экватор на котором функция равна нулю. При имеются две линии узлов, приблизительно совпадающие с параллелями и 125°. В общем случае получается линий узлов и зона, в которой функция попеременно положительна или отрицательна. Поэтому многочлены Лежандра часто называют зональными гармониками. При присоединенная функция Лежандра из-за множителя обращается в нуль на полюсах, а число линий узлов, параллельных экватору, равно кроме того, эта функция обращается в нуль и на меридианах, определяемых нулями Следовательно, линии нулей делят единичную сферу на четырехугольники (тессеры) с различными знаками, ограниченные параллелями и меридианами. В частности, линии нулей функций делят сферическую поверхность на секторы, в которых эти функции попеременно положительны или отрицательны. Поэтому функции при часто называют тессеральными, а при секториальными гармониками. Очевидно, имеются тессеральные и две секториальные гармоники степени