10.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ПОЛИТРОПЫ.

В двух предыдущих разделах мы рассмотрели основные свойства твердотельно вращающихся политроп Ясно, что в этом случае в состоянии равновесия вязкие напряжения строго равны нулю, поскольку в твердотельно вращающихся конфигурациях относительных движений нет. Напротив, в дифференциально вращающихся системах вязкость неизбежно вызывает непрерывные изменения в распределении момента количества движения (ср. с разд. 7.5). В этом разделе мы предположим, что вязкими эффектами можно полностью пренебречь. Поэтому мы вправе задавать любой закон вращения, лишь бы он удовлетворял критерию Хейланда (см. разд. 7.3).

Если отклонение от сферичности велико, аналитические разложения не приносят большой пользы и приходится обращаться к численному интегрированию. Эту задачу решали двумя различными способами:

1. Численное интегрирование Стокли. Осесимметричные модели были построены только для случая причем угловая скорость задавалась в виде

где измеряется от оси эращения, угловая скорость на оси и а — постоянная. Согласно критерию Хейланда, момент количества движения на единицу массы должен увеличиваться наружу; для выполнения этого условия устойчивости, требуется, чтобы т.е. Численные решения были получены при помощи конечноразностной схемы, очень похожей на метод Хениея, применяемый в задачах о внутреннем строении звезд. Оценка погрешностей не проводилась.

2. Метод самосогласованного пом (ср. с разд. 5.5). В этом методе Боденхеймер и Острайкер задавали не угловую скорость а распределение момента количества движения Предполагалось, что распределение задано формулой

где доля массы, заключенная в цилиндре радиуса Различные постоянные, которые фигурируют в уравнении (44), подбирались так, чтобы (с точностью до описать распределение момента количества движения в твер- дотельно вращающейся политропе с показателем и бесконечным радиусом (табл. 10.6). Был построен ряд осесимметричных моделей для различных комбинаций Ясно, что комбинация определяет последовательность сфероидов Маклорена. (В этом случае Верхний предел суммирования в разложениях (82) и (84) разд. 5.5 полагается равным 15. Общая точность модели оценивается вириальным тестом

Таблица 10.6 (см. скан) Коэффициенты в формуле (44)

где все символы имеют обычный смысл (разд. 3.7), величина таким образом, показывает, в какой степени удовлетворяются вириальные уравнения второго порядка.

Осесимметричные модели

В табл. 10.7 и на рис. 10.10 приводятся физические параметры некоторых конкретных моделей, построенных Стокли [см. уравнение (43)], табл. 10.7 содержит сферическую политропу с показателем и четыре модели, выбранные в качестве примеров. Эти параметры выражены в безразмерных переменных, основанных на и (вместо таким образом, для единицами длины, массы и времени служат соответственно Помимо уже определенных величин в табл. 10.7 приводится отношение угловых скоростей при Выписывается и отношение эффективной силы тяжести на экваторе к гравитационному ускорению чтобы показать, насколько близка конфигурация к предельной модели своей последовательности (с данным

Последовательности моделей Стокли распадаются на отдельные классы в зависимости от их поведения при больших значениях полного момента количества движения Для малых значений параметра а (т.е. при умеренно дифференциальном вращении) каждая последовательность заканчивается конфигурацией с нулевой эффективной силой тяжести на экваторе. С другой стороны, если вращение сильно дифференциальное (т.е. а стремится к единице), то поверхностные слои деформируются сильнее, чем центральные области. В этом случае последовательности могут даже содержать быстро вращающиеся модели с остроконечными изопикническими поверхностями в их недрах, в

Таблица 10.7 (см. скан) Физические свойства дифференциально вращающихся политроп

(кликните для просмотра скана)

таких моделях давление и плотность местами увеличиваются наружу. Изучая крайние случаи, Стокли обнаружил также, что последовательности с постоянным проходят через системы с околозвездными дисками и что вскоре после этого последовательности обрываются или нарушается их непрерывность. Для этих конфигураций исследование устойчивости не проводилось и точки бифуркации не определялись.

Позже появились подробные результаты Боденхеймера и Острайкера [ср. с уравнением (44)]. Основные сведения об их моделях собраны в табл. 10.8 и 10.9 и на рис. 10.11 — 10.15. На этот раз система единиц основана на однако измеряется в единицах Положение модели на данной последовательности характеризуется безразмерным моментом количества движения или, лучше, отношением Таким образом, при фиксированных значениях последовательность представляет собой набор дифференциально вращающихся политроп, экваториальные радиусы которых с ростом становятся все меньше, все модели данной последовательности имеют одно и то же распределение момента количества движения Тем самым последовательности политроп обобщают классическую последовательность сфероидов Маклорена Необходимо сделать одно предостережение. Никем не доказано, что сжимающаяся невязкая конфигурация будет эволюционировать по одной из этих последовательностей. Таким образом, последовательность политроп лучше пока рассматривать как непрерывное множество не связанных между собой статических моделей, а не как эволюционный путь сжимающейся неоднородной звезды.

Рис. 10.11 — 10.14 позволяют провести сравнение с последовательностью Отношение для четырех последовательностей политроп в зависимости от отношения .

(кликните для просмотра скана)

Рис. 10.14. Степень дифференциальности вращения (определяемая отношением для последовательностей политроп, приведенных на рис. 10.11, в зависимости от .

сфероидов Маклорена (0, 0); на них показано, как меняются отношение плотность в центре средняя угловая скорость

и, наконец, отношение Расчет последовательностей прекращался, когда из-за высокой степени сплюснутости возникали численные трудности и сходимость замедлялась. В табл. 10.8 и 10.9 приведены характеристики двух последовательностей, указаны также полная внутренная энергия (при ), скорость на экваторе эффективные силы тяжести на полюсах и на экваторе и отношение осей изопикнических поверхностей вблизи центра политропы. Наконец, на рис. 10.15 для двух выбранных моделей в деталях изображены сечения в меридиональной плоскости. Если исключить последовательность сфероидов Маклорена, для которой то все полученные кривые скорости напоминают кривую вращения галактики. Заметим, что эти кривые не взяты a priori, а получены в результате решения уравнений равновесия.

Итак, дифференциально вращающиеся политропы сильно отличаются от конфигураций в случае твердотельного вращения. В частности, при дифференциальном вращении политропы могут накапливать большее количество кинетической энергии вращения по сравнению с их потенциальной гравитационной энергией. Кроме того, последовательности политроп по всем главным свойствам подобны последовательности сфероидов Маклорена (0,0), с тем исключением, что вращение не является твердотельным. Особенно важен тот факт, что

(см. скан)

(см. скан)

Рис. 10.15. (см. скан) Меридиональные сечения двух моделей, принадлежащих к последовательности политроп (1,5, 0). Вверху изображены поверхности постоянных плотностей и 0. Внизу показаны отношение доля полной массы, заключенная в соответствующем цилиндре, ось которого совпадает с осью вращения, и отношение круговой скорости к ее значению на поверхности

эти последовательности дифференциально вращающихся политроп не обрываются. Учитывая этот результат, можно предположить, что, когда отклонение от сферичности становится достаточно большим, появляется точка бифуркации и в конечном счете динамическая неустойчивость.

Колебания и устойчивость

Согласно разд. 6.7, две секториальные частоты, принадлежащие гармоникам второго порядка, приближенно равны

где

[ср. с формулами (40) и (46)]. Отметим, в частности, что если то обращается в нуль. Таким образом, хотя формула (47) описывает моды лишь приближенно, мы вправе предположить, что модель с определяет предел вековой устойчивости, т.е. соответствует точке бифуркации. Однако, как указал Хантер, если преобладающим диссипативным механизмом является вязкость, то распределение момента количества движения в дифференциально вращающемся теле будет меняться по крайней мере с такой же скоростью, с какой может расти любое секториальное возмущение, поэтому вопрос о вековой неустойчивости по отношению к секториальным модам второго порядка корректен лишь тогда, когда диссипативный механизм не влияет на равновесную конфигурацию, как, например, в случае гравитационного излучения. Кроме того (как показали Бардин, Фридман, и Соркин), истинная точка бифуркации может лежать либо впереди, либо позади точки бифуркации, определенной на последовательности дифференциально вращающихся тел методом вириальных тензоров. (Согласно Бардину, численные расчеты для бесконечно тонких дифференциально вращающихся дисков показывают, что точное значение может на 20% превышать оценку, полученную вириальным методом.) Во всяком случае, поскольку точное положение точки бифуркации на последовательности дифференциально вращающихся политроп еще не вычислено, формула (47) определяет 1) приближенное положение точки бифуркации на последовательности невязких осесимметричных моделей, т.е.

и 2) приближенный предел динамической устойчивости, т.е.

Для последовательности сфероидов Маклорена метод, разумеется, точен, поэтому можно ожидать, что для последовательностей с малыми показателями политропы погрешность будет минимальной.

На рис. 10.16 и 10.17 изображены две секториальные моды вдоль различных последовательностей политроп по Острайкеру и Боденхеймеру (ср. с рис. 10.3). Для полноты картины в табл. 10.10 и 10.11 приведены также шесть мод, которые в предельном случае отсутствия вращения сводятся к пяти -модам, принадлежащим к сферическим гармоникам и самая низкая -мода [ср. с разд. 6.4, формулы (37) и (41)]. При тессеральные и зональные моды всегда устойчивы (см., однако, разд. 14.2). Важный результат этого анализа состоит в том, что эти последовательности политроп совершенно аналогичны последовательности сфероидов Маклорена не только в отношении равновесия, но и по свойствам устойчивости рассмотренных мод.

Особенно поразительна неизменность точки т.е. точки, где обращается в нуль. Из табл. 10.12 следует, что изменение никогда заметно не превышает оценку погрешности расчета Напомним, что подобное загадочное поведение мы уже наблюдали у

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Таблица 10.12 (см. скан) Свойства моделей в точке, где

твердотельно вращающихся политроп (ср. с разд. 10.3). Как показал Робертс, если уровенные поверхности самогравитирующей конфигурации — подобные сфероиды, то точка на данной последовательности строго не зависит от распределения массы, однако, как показано в разд. 4.4, такие модели в случае баротроп определенно не являются фигурами равновесия. Тем не менее, поскольку внутренние Уровенные поверхности всех моделей, рассмотренных Боденхеймером и Острайкером, никогда сильно не отличаются от сфероидов, этот результат может дать ключ к пониманию того, почему значения почти не зависят от ил. Ясно, что эта проблема нуждается в дальнейшем изучении.

Наконец, во всех случаях, когда удалось численно построить сильно сплюснутые конфигурации, точка динамической неустойчивости (50) достигается при Отклонение от значения на последовательности сфероидов Маклорена снова имеет тот же порядок, что и интегральная ошибка моделей в этой точке [см. формулу (45)]. Однако в этом случае значимость численных результатов не очевидна, поскольку ошибки в расчетах равновесия сплюснутых моделей относительно велики.