7.4. ОТСУТСТВИЕ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ В БАРОКЛИНАХ

До сих пор предполагалось, что необратимые процессы, которые всегда протекают в звезде, не влияют на заданный закон вращения. Насколько справедливо это приближение, например, для звезды главной последовательности, удовлетворяющей критерию Хейланда? Как мы показали в разд. 3.4, скорость изменения энтропии в общем случае равна

(Магнитные поля рассматриваются в разд. 7.5.) Функция это количество энергии, которое диссипирует из-за трения, она пропорциональна полному коэффициенту сдвиговой вязкости Согласно Спитцеру и Томасу, можно написать

где масса протона, заряд электрона в единицах , а — постоянная Больцмана; величина равна

и пропорциональна расстоянию обрезания столкновений, которое мы принимаем равным дебаевскому радиусу. В приведенном виде формула (46) справедлива для чисто водородной плазмы, что вполне приемлемо для наших целей. Коэффициенты описывают перенос импульса соответственно за счет столкновений и излучения при наличии градиента скорости. (Перенос момента количества движения за счет полного потока излучения рассматривается в разд. 7.5.) Коэффициент лучистой теплопроводности равен

Если исключить вырожденные звезды, то можно полностью пренебречь теплопроводностью

Для Солнца весьма приближенно можно считать но для более

Таблица 7.1 (см. скан) Коэффициенты кинематической вязкости и характерное ьремя вязкой диффузии в оболочке модели массой

массивных звезд все более важную роль играет В табл. 7.1 приведены коэффициенты кинематической вязкости в звезде главной последовательности с и характерное время диффузии импульса за счет вязкости в области с характерными размерами, равными одой десятой радиуса, т.е. Для сравнения отметим, что для Солнца лет, если взять на радиусе, ограничивающем половину солнечной массы. Фактически лучистый перенос тепловой энергии всегда происходит намного быстрее, чем вязкий перенос импульса.

Относительная роль этих двух механизмов выражается при помощи числа Прандтля

Непосредственно под конвективной зоной Солнца В общем случае, если нет больших градиентов скорости, лучистый перенос играет гораздо более важную роль, чем микроскопический перенос импульса. Вне центральных областей ядерного горения уравнение (45) сводится к

а вязкость в том же приближении не входит в уравнения движения.

Рассмотрим теперь химически однородную бароклину, которая вращается с некоторой заданной угловой скоростью Предположим, кроме того, что она удовлетворяет критерию устойчивости Хейланда (ср. с разд. 7.3). Как мы показали в разд. 4.3, изотермические и изобарические поверхности всегда наклонены друг к другу под конечным углом. Следовательно, поскольку температура непостоянна на изобарической поверхности, лучистая теплопроводность будет сглаживать эти различия температуры так, что будет достигаться совпадение обоих семейств

поверхностей. Иными словами, если какой-нибудь другой механизм быстро не предотвратит эту крупномасштабную циркуляцию, то распределение момента количества движения в истинной бароклине будет медленно перестраиваться и она будет постепенно эволюционировать к окончательному состоянию, которое характеризуется условием

удовлетворяя при этом критерию динамической устойчивости Хейланда. Это основное содержание результата, впервые полученного Голдрейхом и Шубертом, а также Фрике.

Следуя работам Сунга, а также Смита и Фрике, выведем сначала условие (51) с помощью анализа локальной устойчивости. Предположим, что наша система — идеальный газ с пренебрежимо малым лучистым давлением, и не будем принимать в расчет вязкость Кроме того, здесь нам удобно допустить наличие градиента химического состава. Итак, имеем где зависит теперь от положения и от времени. Далее, поскольку нас интересует главным образом диссипативный механизм (т.е. лучистая теплопроводность), можно ожидать, что длины волн самых неустойчивых возмущений окажутся гораздо меньше среднего радиуса звезды. Поэтому целесообразно работать с упрощенной системой уравнений, которые близки к точным уравнениям в малой области звезды. Ограничимся анализом малых осесимметричных возмущений и будем предполагать, что их размер (скажем, много меньше, чем любой харакхерный масштаб (скажем, равновесной модели. Тогда коэфициенты в уравнениях для возмущений не будут зависеть от поэтому эйлеровы вариации можно разложить по плоским волнам вида

В соответствии с нашими приближениями, можно теперь считать Наконец, предположим, что звуковая частота много больше частоты вращения (для интересующих нас длин волн).

Согласно выражению (52), уравнения движения сводятся к виду

где двумерный вектор с компонентами [см. разд. 6.6, уравнение (74)], Заметим, что в уравнении (53) уже учтено сохранение момента количества движения при перемещении каждого элемента массы. (Этот закон и здесь имеет место, так как мы пренебрегли вязким трением.) Аналогично, с учетом сохранения массы [и формулы (4), разд. 6.2] в наших приближениях мы получаем еще условие к откуда следует, что волновой вектор к перпендикулярен смещению Полагая затем (где а — единичный вектор в направлении вектора и умножая обе части уравнения (53) на а, находим

[см. формулы (28), (29) и (31)]. Поскольку к эйлерова вариация тут же исключается из уравнений движения.

Далее, аналог уравнения (50) для малых возмущений можно привести к виду

где Для идеального газа всегда имеем

Отсюда следует

Второе из соотношений (58) получается при линеаризации уравнения состояния, которое приобретает вид

так как значит, им можно пренебречь. (Напомним, что по предположению Наконец, поскольку скорость диффузии химических компонентов сравнима с (пренебрежимо малой) скоростью вязкой диффузии, предположим также, что

Отсюда получаем

Поставляя формулы (57) — (61) в уравнение (55), можно переписать его в виде

где

определен формулой (57).

Теперь нетрудно исключить из уравнений (54) и (62); находим

Как и следовало ожидать, в предельном случае уравнение (64) дает правильное дисперсионное соотношение теории динамической устойчивости (ср. с разд. 7.3). Если учитывается лучистая теплопроводность то неустойчивость имеет место, когда у уравнения (64) есть корень с положительной действительной частью. В нашем случае такая возрастающая мода наверняка существует, если

Это и есть искомое условие тепловой неустойчивости по отношению к осесимметричным движениям, если учитываются как лучистая теплопроводность, так и градиент средней атомной массы.

Рассмотрим сначала химически однородную звезду. Тогда, согласно неравенству (65), тепловая неустойчивость имеет место, если найдется вектор а, такой, что На рис. 7.3 изображены векторы в некоторой точке для случая динамически устойчивой бароклины по Джеймсу и Кану. Легко видеть, что все векторы а, лежащие в заштрихованной области, указывают на тепловую неустойчивость тела в этой точке.

Рис. 7.3. Термически неустойчивая ситуация.

Ясно, что единственный способ предотвратить нарушение теплового равновесия в звезде — свести на нет заштрихованную область для каждой точки. Это возможно, только если каждый вектор направлен по т.е. если в каждой точке звезды выполнено условие (51). Поскольку по предположению соблюдается критерий устойчивости Хейланда, необходимым (но не достаточным) условием тепловой устойчивости является

Приведенные результаты можно резюмировать следующим образом:

Если химически однородная невязкая звезда находится в статическом равновесии и удовлетворяет критерию устойчивости Хейланда, то тепловая неустойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям имеет место всякий раз, когда зависит от координаты вдоль оси вращения.

Это критерий Голдрейха — Шуберта — Фрике. Он показывает, что истинная бароклинная звезда необходимо должна так эволюционировать со временем, чтобы восстанавливалось требуемое для тепловой устойчивости условие (66).

А может ли поддерживаться в статическом равновесии со стационарным законом вращения химически неоднородная звезда? Условие (65) показывает, что устойчивый градиент химического состава (т.е. часто оказывает стабилизирующее влияние на все смещения, которые не являются касательными к поверхностям Другими словами, при помощи подходящей стратификации средней атомной массы вполне можно избежать сглаживания неоднородностей плотности вдоль изобарических поверхностей за счет лучистой теплопроводности [см. уравнение (59)]. Для дальнейшего рассмотрения этого эффекта необходимо использовать конкретную модель. Аналогично, рост тепловой неустойчивости могло бы подавить и вязкое трение, которое препятствует движению. Однако в реальной звезде число Прандтля обычно очень мало, поэтому такой стабилизирующий эффект, как правило, пренебрежим.

Наконец, если лучистая теплопроводность допускает общую циркуляцию, стремящуюся восстановить условие необходимое для тепловой устойчивости, то каково характерное время эволюции (Ясно, что это время значительно больше характерного времени динамической неустойчивости, которая разрушает спадающее наружу распределение момента количества движения за несколько оборотов звезды.) Согласно Фрике, Колгейту и Киппенхану, соответствующее характерное время по порядку величины равно времени Кельвина — Гельмгольца. Впоследствии Джеймс и Кан критиковали эту оценку и предположили, что такое характерное время крупномасштабного перераспределения момента количества движения за счет лучистой теплопроводности, вероятно, связано с временем циркуляции меридиональных течений, т.е. временем Эддингтона — Свита (ср. с разд. 8.2). Эта проблема требует дальнейшего изучения. Во всяком случае, теперь ясно, что построить химически однородную модель звезды в строгом лучистом равновесии со стационарным законом вращения невозможно. В самом деле, если то вследствие лучистой теплопроводности нарушается тепловое равновесие, а это в свою очередь приводит к крупномасштабной циркуляции. С другой стороны, если в каждой точке то строгое лучистое равновесие должно неизбежно нарушаться, что вызывает циркуляционные течения. Значит, в обоих случаях законы вращения в лучистых зонах стационарны только приблизительно. Разумеется, в зонах эффективной конвекции перенос энергии осуществляется не излучением и рассуждения фон Цейпеля неприменимы. В этом случае стационарные законы вращения в принципе допустимы (см. однако разд. 8.5).