11.3. ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ

В общих чертах проблему деления можно сформулировать следующим образом. Будет ли единое сжимающееся тело, обладающее начальным моментом количества движения, распадаться на две части в отсутствие существенных внешних возмущений, и если будет, то как должен происходить этот распад? Поскольку в основе лежит представление о том, что единое тело сначала становится вытянутым, а затем распадается на две части, любой подход к этому вопросу с необходимостью приводит к задаче трехмерной гидродинамики. Вот почему исчерпывающего решения этой проблемы до сих пор не было найдено, несмотря на многочисленные попытки. Более или менее строго рассматривались лишь модели, учитывающие малые колебания различных однородных эллипсоидов, которые по мере постепенного сжатия проходят ряд положений равновесия. (Самоускоряющемуся коллапсу уделялось сравнительно мало внимания.) Поэтому те три эволюционные последовательности, которые мы поочередно кратко опишем, в лучшем случае соответствуют образованию тесных двойных на стадии квазистатического сжатия звезды к главной последовательности (см. также разд. 11.4). Мы завершим раздел критической оценкой этих идеализированных моделей.

Классический подход. Простейшими фигурами равновесия самогравитирующих тел при твердотельном вращении являются сфероиды Маклорена и эллипсоиды Якоби (см. разд. 10.2). В классической формулировке Пуанкаре рассматривается медленная эволюция твердотельно вращающегося вязкого сфероида вдоль последовательности сфероидов Маклорена, а затем вдоль последовательности эллипсоидов Якоби. Причиной этого перехода считается гравитационное сжатие исходной массы, а трение предполагается достаточно большим для поддержания твердотельного вращения. Следуя Джинсу (главному последователю этой модели), предположим, что имеет место вековое увеличение момента количества движения при сохранении однородной плотности — формально это эквивалентно постепенному увеличению плотности при постоянном моменте количества движения. Другим способом эволюцию медленно сжимающегося тела можно описывать и с помощью отношения где кинетическая энергия вращения и гравитационная потенциальная энергия соответственно. Тогда при малых значениях сжимающаяся масса приобретает форму сплюснутого сфероида. В точке бифуркации возникает вековая неустойчивость вязкого тела, и оно приобретает форму эллипсоида с тремя неравными осями. Очевидно, для осуществления этой схемы эволюции необходимо, чтобы время сжатия Кельвина — Гельмгольца было много больше характерного времени вязкой эволюции

Как же будет происходить дальнейшая эволюция конфигурации, если неравенство (1) справедливо? Сначала трехосное тело медленно сжимается и вытягивается, сохраняя эллипсоидальную форму. Затем, когда наибольший диаметр становится втрое длиннее наименьшего, возникает вековая неустойчивость по отношению к некоторым гармоникам третьего порядка, и здесь от последовательности эллипсоидов Якоби ответвляется ряд грушевидных фигур. Поначалу считалось, что эти новые фигуры будут обладать и вековой, и динамической устойчивостью, так что сжимающийся эллипсоид мог бы перейти на новую ветвь и затем эволюционировать, проходя равновесные формы вдоль последовательности. Это привело бы к переходу (за время порядка к грушевидным фигурам, а впоследствии к квазистатическому сжатию вдоль их последовательности (с характерным временем причем перетяжка непрерывно сужалась бы до пор, пока не произойдет полное

разделение. Однако такой идеализированный сценарий стал казаться малоправдоподобным, когда Ляпунов и Джинс доказали, что грушевидные фигуры обладают вековой неустойчивостью, а Картан показал, что эллипсоиды Якоби становятся динамически неустойчивыми как раз в той точке, где от последовательности эллипсоидов Якоби ответвляется последовательность грушевидных фигур. Следовательно, даже если указанный ход событий правильно описывает образование тесной двойной, то за точкой бифуркации на последовательности эллипсоидов Якоби окончательный распад исходной массы на две части должен происходить катастрофически быстро (т.е. с динамическим характерным временем). До сих пор никому не удалось доказать или опровергнуть, что удлиненная грушевидная фигура, один конец которой толще другого, распадается в итоге на две отдельные массы, обращающиеся вокруг друг друга. Для этого потребовалось бы провести полностью нелинейное нестационарное исследование эволюции грушевидной фигуры, истинная граница которой в каждый момент не известна.

Подход острайкера. В картине, изложенной выше, решающее значение имеет вязкость, которая превращает сжимающийся сфероид Маклорена в эллипсоид Якоби в точке бифуркации Предположим теперь, что вязкое трение не играет существенной роли при квазистатическом сжатии однородного тела, а твердотельное вращение поддерживается каким-то образом; Иначе говоря, рассмотрим противоположную ситуацию, когда

Тогда, как известно, точка бифуркации на последовательности сфероидов Маклорена ничем не примечательна: поскольку в наших рассуждениях можно пренебречь вязкостью, в этой точке вековая неустойчивость не возникает. Таким образом, если выполнено неравенство (2), то медленно сжимающийся сфероид Маклорена так и не перейдет на последовательность эллипсоидов Якоби, а будет непрерывно эволюционировать вдоль последовательности сфероидов Маклорена до тех пор, пока не достигнет точки Там, согласно разд. 10.2, конфигурация становится динамически неустойчивой по отношению к бесконечно малым возмущениям второго порядка. Что же происходит далее? Частично ответ на этот вопрос дан в работах Росснера и Фудзимото, в которых рассматриваются колебания однородного сфероида конечной амплитуды за точкой Обоим авторам удалось решить задачу благодаря рассмотрению колебаний, при которых сохраняется эллипсоидальная форма поверхности и возникают внутренние движения с однородной завихренностью. (При этом Росснер рассматривал движения конечной амплитуды несжимаемого тела, а Фудзимото — неосесимметричный коллапс сжимаемого сфероида с пространственно однородной, но нестационарной плотностью.) Движение этих конфигураций весьма сложно, но очень приближенно его можно описать как кувыркание сфероида, сильно вытянутого вдоль одной из главных осей,

перпендикулярных оси вращения, через свои концы. Согласно Острайкеру, имеются веские основания считать, что после достижения точки такая спицеподобная конфигурация распадется на два или несколько фрагментов, обращающихся вокруг общего центра масс. Эту догадку нельзя ни доказать, ни опровергнуть, поскольку нужно тщательно исследовать нелинейный рост возмущений высоких гармоник в ходе динамической эволюции сфероида Маклорена за точкой Итак, не исключено, что деление вызывается динамической неустойчивостью, но это не доказано.

Подход лебовица. В этой третьей попытке решения проблемы деления рассматриваются невязкие однородные эллипсоиды, которые медленно сжимаются вследствие излучения энергии с мощностью другими словами, допускается, что плотность, оставаясь пространственно однородной, явно зависит от времени, так что модельные конфигурации не предполагаются несжимаемыми. (В двух предыдущих подходах излучение учитывалось только для того, чтобы оправдать рассмотрение последовательности равновесных фигур постоянно растущей плотности.) Далее, не предполагая точной осевой симметрии, опишем теперь эволюцию сжимающейся массы вдоль последовательности эллипсоидов Римана (с полуосями которые вращаются с угловой скоростью и характеризуются внутренними движениями с однородной завихренностью (По предположению направлены вдоль оси Обратим внимание на некоторые нужные нам свойства этих эллипсоидов. Произведя замену переменных

легко доказать, что величины

постоянны вдоль траектории (поскольку это линейные комбинации момента количества движения и циркуляции С). На рис. 11.1 изображена область существования этих конфигураций в плоскости Все эллипсоиды Римана рассматриваемого типа лежат в рогообразной области,

Рис. 11.1. (см. скан) Эволюционный трек сфероида Маклорена в сравнении с треками эллипсоидов Римана (кривые 7, 2 и 3) при соответственно. Эллипсоиды имеют такие же массу, момент количества движения и начальную температуру, сфероид Маклорена, который начинает эволюцию от точки Последовательности эллипсоидов Якоби соответствует кривая Звездочками отмечены точки, в которых наступает динамическая неустойчивость (в предположении несжимаемости). Черные кружки расположены через равные промежутки времени. Светимость принимается постоянной и одинакова для всех конфигураций, а С разрешения

ограниченной кривыми и линией Маклорена на которой также (Кривая изображает последовательность эллипсоидов Якоби.)

Рассмотрим теперь эволюцию сжимающейся массы, которая вначале представляет собой эллипсоид Римана со слегка различающимися осями. Если взять очень близким к единице, то отклонение от осевой симметрии будет очень малым, но не нулевым. Рис. 11.1 иллюстрирует, как такое сжимающееся тело будет эволюционировать через последовательность положений равновесия, в которых помимо вращения есть и внутренние движения Эволюционный трек параллелен

последовательности сфероидов Маклорена остается близким к единице) до тех пор, пока не достигнет значения 0,3033; затем отношение начинает быстро меняться, а трек становится параллельным самой нижней последовательности эллипсоидов Римана . (Отметим, что этот трек играет ту же роль, что и последовательность эллипсоидов Якоби в классическом подходе.) Но поскольку эти равновесные фигуры не лежат в точности на линии Маклорена, они никогда не достигают точки динамической неустойчивости на последовательности сфероидов Маклорена. Следовательно, они всегда эволюционируют в келъвиновской шкале оставаясь при этом на самой нижней последовательности эллипсоидов Римана или вблизи нее. Что можно сказать об устойчивости этих медленно сжимающихся фигур равновесия? Как показал Лебовиц эллипсоиды, почти осесимметричные вначале, со временем становятся динамически неустойчивыми к бесконечно малым возмущениям, связанным с гармониками третьего порядка. Необычайно узкая полоса неустойчивости лежит чуть выше лййии и ее обязательно пересекают все эволюционные треки тел с достаточно малыми начальными отклонениями от осевой симметрии. трек 1 на рис. 11.1 становится неустойчивым лишь тогда, когда не очень далеко от точки, отмеченной звездочкой на самой нижней последовательности Римана.) Основное предположение данной теории состоит в том, что эволюция продолжается вдоль новой последовательности стационарных конфигураций (которая приходит на смену последовательности эллипсоидов Римана, когда эволюция вдоль последней становится уже невозможной) и что в результате эволюции вдоль этой новой ветви вполне может произойти деление (рис. 11.2). Однако эволюционные треки пересекают узкую полосу неустойчивости лишь тогда, когда начальное отклонение тела от осевой симметрии меньше некоторого критического значения; если это критическое значение превышается, то сжимающееся тело не подвержено неустойчивости к гармоникам третьего порядка и, возможно, оказывается неустойчивым к возмущениям, связанным с гармониками четвертого или более высоких порядков. Изложенные рассуждения по-прежнему основаны лишь на линейном анализе устойчивости, и о реальном движении возмущенного эллипсоида Римана в нелинейном режиме пока ничего не известно.

Заключительные замечания. Среди многих возражений против различных теорий деления, объясняющих происхождение двойных звезд, самое серьезное связано, по-видимому, с использованием моделей однородной плотности. Как показано в разд. 10.3, последовательности центрально конденсированных твердотельно вращающихся политроп никогда не достигают точек бифуркации или динамической неустойчивости. Точнее, при каждая последовательность осесимметричных политроп с твердотельным вращением заканчивается в точке так называемого предела вращения (т.е. предельной моделью, в которой эффективная сила тяжести на экваторе падает до нуля), прежде чем может появиться точка бифуркации. Однако такие последовательности не являются эволюционными для невязкой центрально конденсированной массы, поскольку вследствие

Рис. 11.2. (см. скан) Форма фигур, образующихся при делении. Форма" эллипсоида дана пунктиром, а форма образующихся фигур — сплошными линиями. Сверху вниз изображены поперечные сечения плоскостями Показана лишь половина сечения, другая половина получается зеркальным отражением относительно горизонтальной плоскости.

локального сохранения момента количества движения в ней непременно должно развиваться дифференциальное вращение. В связи с этим кажется более реалистичным рассматривать эволюционные последовательности политроп с дифференциальным вращением, вводя вместо предположения о постоянной угловой скорости предположение о заданном распределении момента количества движения. Так поступили Боденхеймер и Острайкер (см. разд. Короче говоря, такие последовательности дифференциально вращающихся политроп во всех важных отношениях напоминают последовательность сфероидов Маклорена и, в частности, никогда не достигают предела вращения. Поэтому, хотя условия в моделях с однородной плотностью, несомненно, далеки от условий в звездах до главной последовательности, в качественном (а отчасти и в количественном) отношении однородные

эллипсоиды внешне ведут себя так как медленно сжимающиеся центрально конденсированные модели.

Другое возражение (принадлежащее Литтлтону) связано с критической стадией, во время которой, как предполагается, происходит деление. Во всех трех рассмотренных подходах конечная неустойчивость эллипсоидальных фигур всегда динамическая, поэтому она не зависит от трения и любое последующее движение должно быть обратимым во времени. Но если в реальной двойной обратить стрелу времени, то система не превратится снова в единое тело, а просто останется той же двойной, но вращающейся в противоположном направлении. Значит, без диссипации двойная звезда не могла образоваться из единого тела, ставшего динамически неустойчивым. Литтлтон утверждает, что единственный результат развития динамической неустойчивости эллипсоида — это распад на части, кинетическая энергия которых больше их энергии взаимного притяжения, так что два фрагмента разойдутся сколь угодно далеко. Действительно, динамическая неустойчивость ведет к высвобождению энергии и в любом новом стационарном состоянии (например, в двойной звезде) энергия должна быть меньше, чем в неустойчивом эллипсоиде с теми же значениями Однако эволюция звезды всегда происходит неконсервативно, поэтому нет оснований считать, что только в процессе деления энергия должна сохраняться. Следовательно, нет физической причины, по которой постепенная диссипация не позволила бы массивному телу перейти в новое стационарное состояние — двойную звезду.

Скажем теперь несколько слов о характерных временах которые входят в неравенства (1) и (2). По современным данным время сжатия Кельвина — Гельмгольца для в диапазоне от до лежит в пределах от до лет. Поэтому, если брать в качестве время вязкой диффузии например, табл. 7.1), то, вообще говоря, В связи с этим, казалось бы, нужно отказаться от классической теории в пользу новейших методов. Однако окончательно не установлено, следует ли принимать в качестве время вязкой диффузии. Как указал Лебовиц, возможно, что для некоторых, если не для всех звезд, не достигших главной последовательности, обычный коэффициент кинематической вязкости нужно заменить на соответствующий коэффициент турбулентной вязкости, что приведет к уменьшению характерного времени С другой стороны, может оказаться, что в качестве правильнее принимать время ускорения вращения вторичными течениями (т.е. среднее геометрическое характерного времени вязкой эволюции и периода вращения). Вследствие подобных еще недостаточно изученных явлений значения могли бы стать примерно сравнимыми, так что иногда было бы справедливо неравенство (1), а иногда (2). Поэтому, хотя современные подходы и кажутся многообещающими в будущих исследованиях, на данном этапе совсем не очевидно, что классическая теория не заслуживает никакого внимания.

Кроме того, наличие динамической неустойчивости на эволюционном треке не обязательно ведет к возникновению движений с характерным временем динамической эволюции которое много короче остальных.

Расчеты Лебовица и Шаара по смежной тематике дают основание предполагать, что до и после точки бифуркации (в которой наступает динамическая неустойчивость) движения могут происходить с характерным временем и лишь в промежутке времени порядка возникают движения с таким же характерным временем Если этот результат справедлив и для проблемы деления, то поведение грушевидной фигуры можно будет узнать и не решая полных динамических уравнений; чтобы предсказать это поведение, понадобятся лишь равновесные решения. Итак, основное предположение при всех трех подходах состоит в том, что в сжимающийся массе появляется перетяжка, которая в ходе эволюции становится все уже, и в результате образуются два отдельных фрагмента. Поэтому главная методическая проблема такова: как описать движения с конечной амплитудой за точкой, в которой тело становится неустойчивым к бесконечно малым возмущениям? Обэн пытался проследить динамическую эволюцию грушевидной фигуры. К сожалению, подтвердить основное предположение пока не удалось, по всей вероятности, потому, что исходный анализ проводился Обэном лишь в квазилинейном приближении. он пользовался разложениями, в который сохранялись только члены с где начальная амплитуда возмущений третьих гармоник.) По-видимому, никакое решение, кроме полного нелинейного анализа, не позволит окончательно разобраться с основным предположением всех теорий деления. Разумеется, при таких обстоятельствах было бы крайне интересно надлежащим образом обобщить метод, применявшийся Ларсоном для осесимметричного коллапса (см. разд. 11,2), но при этом вновь придется столкнуться с трудной задачей — оценить пределы применимости численных расчетов!