5.4. КВАЗИСФЕРИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Аналогичным образом при помощи несколько иных разложений можно приближенно описать строение центрально конденсированных тел. Масса такого объекта в основном сосредоточена в центральном ядре; поскольку

плотность во внешних слоях очень мала, их самогравитацией можно пренебречь. Как впервые показал Такеда, весьма точные результаты дает следующий метод двойной аппроксимации: 1) во внутреннем ядре, где центробежная сила всегда мала, мы применяем разложение первого порядка по параметру и 2) мы пренебрегаем влиянием массы внешних слоев, считая, что сила тяготения порождается только веществом слегка сплюснутого ядра. Вообще говоря, области применимости этих двух приближений перекрываются, поэтому нетрудно построить Самосогласованные модели. Роксбург и его сотрудники обобщили этот метод на случай однородно вращающихся звезд. Однако, как показали Киппенхан и Томас, совсем не обязательно пользоваться двумя зонами: выбирая подходящее геометрическое представление уровенной поверхности, можно достичь той же степени точности. Главное преимущество этого метода состоит в том, что вращение без особых затруднений удается включить в обычные программы расчета эволюции звезд.

Рассмотрим химически однородную квазисферическую звезду, вращающуюся как твердое тело. Тогда, как известно, стратификация этой псевдобаротропы такова, что постоянны на одних и тех же поверхностях. В силу формулы (3) эти функции однознайго определяются заданием среднего радиуса а уровенной поверхности

Предположим для начала, что функция известна. По определению эффективная сила тяжести равна

где внешняя нормаль к уровенной поверхности. Если звезда вращается, то величина конечно, непостоянна по поверхности Определим нужные нам в дальнейшем средние значения на поверхности соответствующей

где площадь поверхности

Согласно формуле (6), элемент массы заключенный между поверхностями равен

С помощью формул (57) и (58) можно написать также

Из формулы (59) прежде всего получаем

Уравнение (61) выражает закон сохранения массы; если заменить а на то оно сведется к уравнению неразрывности, которое использовалось при

изучении сферических звезд. Возвращаясь к уравнению (1), можно написать

или, подставляя формулу (60),

где

В случае сферы можно считать

Предположим теперь, что звезда находится в тепловом равновесии. Если обозначить через энергию, проходящую через уровенную поверхность наружу за секунду, то приращение светимости между поверхностями составляет

где скорость выделения энергии на вещества в 1 с. В химически однородных звездах функция зависит только от и и также постоянна на уровенной поверхности, поэтому напишем

Рассмотрим теперь те области звезды, в которых имеет место лучистое равновесие. В этих областях

где k — коэффициент непрозрачности, постоянная Стефана — Больцмана. Уравнение (67) означает просто, что лучистый поток на уровенной поверхности изменяется пропорционально эффективной силе тяжести (см. разд. 7.2). По определению светимость равна

поскольку коэффициент непрозрачности к также постоянен на поверхностях Из формул (60) и (68) находим

где

Очевидно, при отсутствии вращения мы имеем Наконец, в тех областях, где имеет место конвективное равновесие, обычно полагают, что

где обобщенный показатель адиабаты также остается постоянным на уровенной поверхности. Влияние вращения на возникновение конвекции мы подробнее рассмотрим в разд. 14.5.

Итак, хорошо известные для предельного случая сферических конфигураций уравнения внутреннего строения звезды в случае вращения заменяются на уравнения (61), (63), (66) и (69) [или (71)]. Разумеется, их нужно дополнить подходящим уравнением состояния. Различие между вращающимися и невращающимися звездами проявляется лишь в том, что теперь нам приходится вычислять безразмерные поправочные коэффициенты и Это чисто геометрические величины, которые зависят исключительно от формы уровенных поверхностей [как сразу же следует из анализа

Рис. 5.1. Геометрические коэффициенты в зависимости от безразмерной переменной График отношения этих величин построен, чтобы показать их поведение вблизи поверхности. (Kippenhahn R., Thomas Н. С. in Stellar Rotation, ed. Slettebak A., New York: Gordon and Breach, 1970, p. 24.)

размерностей в уравнениях (64) и (70)]. Таким образом, в принципе нам необходимо было бы одновременно решать уравнение (29) и модифицированные уравнения внутреннего строения звезды с учетом соответствующих граничных условий (48), накладываемых на гравитационный потенциал. На практике полный потенциал аппроксимируется решением, полученным для модели Роша (см. разд. 5.2). Следовательно, уровенная поверхность выбирается в виде

или

На рис. 5.1 показано поведение в зависимости от безразмерной переменной по Киппенхану и Томасу. Хотя использовались уровенные поверхности модели, имеющей сингулярность в начале координат, этот метод дает реалистические решения с конечной плотностью в центре. В самом деле, в предельном случае отсутствия вращения , и снова получаются обычные уравнения для сферических звезд. Так или иначе, стратификация задается a priori, и поэтому этот метод применим лишь для псевдобаротропных звезд, форма которых мало отклоняется от сферической. Поскольку все центрально конденсированные твердотельно вращающиеся звезды относятся именно к этому классу, указанный способ приводит к интересным результатам.