7.5. НЕКОТОРЫЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ

Несмотря на то что к истинным бароклинам парадокс фон Цейпеля неприменим, предположение о строгом лучистом равновесии все же приводит к ограничениям на функцию и при произвольном законе вращения, вообще говоря, устанавливаются циркуляционные течения. Много раз делались попытки найти такое распределение угловой скорости в медленно вращающихся звездах, при котором по предположению меридиональной циркуляции нет. Некоторые авторы (в особенности Шварцшильд и Роксбург) пытались определить функцию в невязкой бароклинной звезде из условия совместности уравнений (1) и (33). Такой способ равносилен предположению, что угловая скорость по какой-то причине будет распределяться так, чтобы помешать возникновению меридиональных течений, и обосновать его физически, по-видимому, очень трудно. Кроме того, все эти модели, как мы видели, подвержены тепловой неустойчивости. В этом разделе мы вкратце рассмотрим роль вязкости в определении закона вращения, а в заключение приведем некоторые соображения о роли магнитных полей в равновесных моделях.

Вязкое трение

Рассмотрим медленно эволюционирующую вязкую звезду, которая в момент времени вращается с угловой скоростью По предположению вращение настолько медленное, что меридиональной цирку цией можно пренебречь. Учитывая взаимодействие между веществом и излучением до членов самого низкого порядка по можно записать три компонента уравнений Навье — Стокса в виде

где для краткости через обозначен полный коэффициент сдвиговой вязкости [ср. с разд. 3.3, уравнение (46), и примечанием на стр. 58]. Ясно, что диссипация не влияет на и -компоненты уравнений движения. Напротив, - компонент (68) описывает необратимое изменение момента количества движения за счет вязкого трения; учитывается также перенос момента количества движения полным лучистым потоком. Как впервые показал Джинс, второй член в левой части уравнения (68) соответствует моменту количества движения, связанному с излучением, испущенным вращающейся областью. Как обычно, мы должны добавить к уравнениям (67) — (69) уравнения (3), (6) и (45). Отметим, что закон сохранения массы всегда выполняется, так как мы предположили, что движения осесимметричны, а меридиональных течений нет. Наконец, следует дополнить эти уравнения соответствующими граничными условиями на меняющейся поверхностей звезды.

В разд. 13.3 приведены нестационарные решения для холодных белых карликов. Здесь мы ограничимся анализом стационарных или квазистационарных движений. Тогда с точностью уравнение (68) сводится к следующему;

Поскольку на поверхности звезды вектор напряжений должен обращаться в нуль, имеем также

где внешняя нормаль к поверхности [ср. с разд. 3.3, уравнение (48)]. Чтобы понять физический смысл уравнений (70) и (71), вычислим прежде всего полную мощность, преобразуемую в тепло вязким трением. В наших предположениях полная диссипативная функция равна

[ср. с разд. 3.4, формула (62), и приложением Рассмотрим теперь произвольный закон вращения на который наложено лишь то ограничение, что сохраняются поверхность и объем конфигурации. Полная диссипативная функция при возмущенном движении равна

После интегрирования по частям можно переписать последний член выражения (73) в виде

Следовательно, поскольку функция удовлетворяет уравнениям (70) и (71), оба интеграла в выражении (74) обращаются в нуль, и соотношение (73) сводится к виду

Величина существенно положительна, и поэтому всегда больше, чем полная диссипативная функция в стационарном состоянии. Значит, каждое решение уравнений (70) и (71) характеризуется тем свойством, что полная мощность, рассеиваемая трением, есть абсолютный минимум по сравнению с мощностью при любом другом движении, которое согласуется с границей и объемом X Этот результат получен по существу Гельмгольцем, а Дедебант и Верле впервые применили его к проблеме вращения Солнца.

Другой интересный подход к проблеме медленно эволюционирующей

вязкой звезды предложил Балаш. В принципе, чтобы найти распределение угловой скорости во вращающейся звезде, нужно решать уравнения движения как задачу с начальными условиями. С течением времени кинетическая энергия вращения будет в основном превращаться в тепло за счет внутреннего трения, а момент количества движения будет теряться вследствие излучения и потери массы звездой. Поскольку относительные скорости потери кинетической энергии и момента количества движения обычно очень малы, может установиться квазистационарный режим. Поэтому предлагается решать более простую задачу, а именно искать такой стационарный закон вращения при котором полная диссипативная функция минимальна и который подчиняется граничному условию (71) и дополнительному условию: величины

остаются постоянными и принимают те же значения, что и в истинном квазистационарном режиме. (Разумеется, этот способ применим, только если время релаксапии для установления квазистационарного состояния много меньше, чем времена релаксации самих Таким образом, введя множители Лагранжа — которые в сущности являются обратными величинами времен релаксации искусственно зафиксированных величин, мы должны найти минимум функционала

с учетом граничного условия (71) и ограничений (76). Легко доказать, что угловая скорость при которой функционал (77) достигает минимума, удовлетворяет уравнению

где коэффициент кинематической вязкости. Балаш не решал уравнение (78) для какой-нибудь конкретной модели звезды, но он сделал несколько интересных выводов, которые стоит здесь перечислить. Во-первых, при наличии внутренних и внешних диссипативных механизмов (например, вязкого трения, внешнего поля излучения, потери массы и т.д.) какое бы распределение угловой скорости мы ни нашли, оно не будет соответствовать состоянию твердотельного вращения, поскольку равенство несовместимо с дополнительными условиями. Другими словами, если с течением времени происходит потеря как кинетической энергии, так и момента количества движения то должно устанавливаться квазистационарное состояние дифференциального вращения. Во-вторых, если то решение вариационной задачи не единственно, и уравнение (78) обязательно дает бесконечный набор мод. Следовательно, распределение момента количества движения, которое устанавливается в квазистационарном состоянии дифференциального вращения, будет зависеть от начальных условий при образовании звезды. Таким образом, мы

приходим к интересному результату: при некоторых условиях состояние с наименьшей диссипацией не единственно, а внутренние и внешние диссипативные механизмы не способны полностью уничтожить влияние начального состояния. Дальнейшие исследования в этом направлении были бы очень полезны.

Некоторые практические способы нахождения ...

Еще в 1932 г. Гийо и Верле решили уравнение (70) в предположении, что постоянно во всей системе. Отыскивая решения с помощью разделения переменных вида они получили

где две постоянные интегрирования. В случае квазисферической системы (такой, как Солнце), удобно использовать сферические координаты ; тогда, подставляя выражения в решение (79), находим

на средней границе со средним радиусом Замечательное свойство соотношения (80) состоит в том, что оно с хорошей точностью воспроизводит закон вращения Солнца (ср. с разд. 2.2), если подогнать значения на двух различных гелиоцентрических широтах. К сожалению, за исключением случая этот закон вращения не удовлетворяет условию (71). Согласно Дедебанту и Верле, выражение (79) следует рассматривать не как строго стационарный, а скорее как квазистационарный закон вращения, соответствующий состоянию с наименьшей диссипацией. Так или иначе, внутреннее вращение Солнца вряд ли правильно описывается этим решением, поскольку в постановке задачи не учитывалось изменение вязкости с глубиной.

Другой подход, при котором тоже частично учитываются вязкие силы, предложил Шварцшильд в 1942 г. Метод сводится к отысканию функции которая является решением обычных уравнений для невязкой звезды, но от которой мы требуем, чтобы она удовлетворяла граничному условию с учетом вязкости (71). Выражение, полученное таким способом, не удовлетворяет уравнению (70), но при этом по крайней мере гарантируется правильное описание поведения угловой скорости вблизи поверхности. Клемент провел подробные вычисления для медленно вращающихся бароклинных моделей массивных звезд главной последовательности. Характерное время (лучистой) вязкой диффузии в оболочке этих звезд короче, чем время их жизни на главной последовательности, поэтому вряд ли этот метод применим (см. табл. 7.1). Считая вращение малым возмущением

сферической модели, имеем

На рис. 7.4 и 7.5 соответственно изображены кривые постоянной угловой скорости и постоянного момента количества движения на единицу массы для моделей с однородно вращающимся конвективным ядром, окруженным лучистой оболочкой. (Непрозрачность вызывается рассеянием на электронах, а лучистым давлением полностью пренебрегают.) Отметим, что поверхности только приближенно являются цилиндрическими. Отсюда можно сделать лишь тот вывод, что вопрос о тепловой неустойчивости модели остается до некоторой степени открытым (ср. с разд. 7.4). Кроме того, поскольку равновесие сил в азимутальном направлении достигается только вблизи поверхности, модель не может находиться в строгом механическом равновесии. Приходится считать, что и это решение описывает в лучшем случае квазистационарное состояние дифференциального вращения.

Рассуждая примерно таким же образом, Джинс предложил в 1926 г. другое возможное граничное условие, полностью противоположное условию (81). Для стационарных систем, свободных от меридиональной циркуляции, уравнение (68) приобретает вид

там, где Как отмечалось выше, из левой части этого уравнения следует, что поток излучения всегда сопровождается потоком момента количества движения, так что величина стремится стать одинаковой во всей звезде. Этот механизм торможения излучением оказывается сильнее, чем диффузия угловой скорости за счет вязкости, если мало по сравнению с [Если пренебречь молекулярной вязкостью, то этот вывод легко получить, записав коэффициент лучистой вязкости в виде

где учтены формулы (2) и Таким образом, если пренебречь членом с вязкостью в уравнении (82), то в результате действия этого механизма вблизи поверхности медленно вращающейся лучистой оболочки угловая скорость должна убывать вдоль данного радиуса как т.е.

Как показали Маркс и Клемент, если учесть фактическое равновесие между торможением излучением и вязкой диффузией, то уравнение (82) требует, чтобы на поверхности медленно вращающейся звезды

Заметим, что это условие гораздо ближе к условию торможения излучением (84), чем к условию, учитывающему только вязкость (81). Оно

(кликните для просмотра скана)

согласуется с предположением Джинса, что в лучистых оболочках преобладает торможение излучением. Харрис и Клемент построили много бароклинных моделей, удовлетворяющих граничному условию (85) для массивных звезд главной последовательности в предположении, что скорость вещества является чисто вращательной. Соответствующие законы вращения очень похожи на изображенный на рис. 7.4 и 7.5. Однако Смит резко критиковал эти результаты, показав с помощью оценок по порядку величины, что для большинства наблюдаемых звезд ранних спектральных классов такие законы вращения недопустимы либо из-за меридиональной циркуляции, либо из-за нарушения теплового равновесия за время, очень малое по сравнению с временем жизни этих звезд на главной последовательности.

Закон изоротации

До сих пор мы совершенно пренебрегали возможностью существования в звездах общего магнитного поля. Ясно, что если присутствует крупномасштабное магнитное поле, то неоднородное вращение должно сильно влиять на него. Какое же условие следует наложить на чтобы построить стационарную модель с осесимметричным магнитным полем? Рассмотрим полностью ионизованную звезду, в которой каждый элемент массы обращается вокруг фиксированной оси. Пусть имеется осесимметричное магнитное поле, силовые линии которого лежат в меридиональных плоскостях (т.е. полоидальное поле). Предполагается, что достигнуто стационарное состояние. Тогда, согласно уравнениям (117) — (120) разд. 3.6, имеем

где значение переменного коэффициента вообще говоря, конечно. Взяв ротор от уравнения (88), находим

поскольку обращается в нуль. В соответствии с нашим предположением, у магнитного поля нет -компонента. Согласно уравнению (86), плотность тока тогда чисто азимутальна, не имеет -компонента. Отсюда

или

Поскольку можно переписать это уравнение и в таком виде:

или в силу второго из уравнений (87)

Этот результат означает, что постоянно на каждой поверхности, которую описывает силовая линия при полном обороте вокруг оси вращения. Другими словами, стационарную звезду, пронизанную полоидальным маг-нитным полем, можно разделить на осесимметричные оболочки, каждая из которых вращается как единое тело со своей угловой скоростью и целиком содержит свои силовые линии. Это и есть закон изоротации, впервые открытый Ферраро. При этот результат очевиден, поскольку, если бы он не был верен, то дифференциальное вращение вытягивало бы силовые линии из меридиональных плоскостей, а это приводило бы к нестационарному состоянию. Но мы видим, что теорема имеет место и для конечной электропроводности, т.е. и в том случае, когда магнитные силовые линии полоидального поля не вморожены в вещество звезды.

При таких же условиях законы вращения, удовлетворяющие требованию (93), термически устойчивы? В общем случае относительная роль лучистой теплопроводности и магнитной вязкости определяется магнитным числом Прандтля

где [см. разд. 3.6, формулу (125)]. Для реальной звезды это отношение обычно очень мало, так что диффузией силовых линий поперек звезды можно пренебречь. (Для лучистых внутренних областей Солнца Тогда, как показал. Фрике, все законы изоротации (кроме, быть может, твердотельных) приводят к тепловой неустойчивости относительно осесимметричных возмущений. Фрике и Шуберт изучали и роль конечной электропроводности. Они обнаружили, что, поскольку магнитная вязкость мала, этот эффект оказывает лишь ничтожно малое стабилизирующее влияние на звезду. Таким образом, вопрос о том, являются ли бароклинные звезды, которые вращаются по закону изоротации (93), стационарными, остается не до конца выясненным. Магнитные поля звезд будут рассмотрены в гл. 15.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)