8.2. ЦИРКУЛЯЦИЯ В ЛУЧИСТЫХ ЗОНАХ

Сначала мы остановимся на лучистых зонах осесимметричной звезды, в которой можно пренебречь вязкими и магнитными силами по сравнению с

центробежной силой, возникающей за счет вращения. Для дальнейшего упрощения предположим, что газ является идеальным, и пренебрежем давлением излучения. Тогда в инерциальной системе отсчета общие уравнения задачи приобретают вид

где вектор потока излучения всюду, кроме самых близких к поверхности областей, определяется выражением

Остальные символы имеют обычный смысл (ср. с разд. 3.3 и 3.4).

Поскольку мы ограничиваемся осесимметричными движениями, удобно использовать цилиндрические координаты Тогда скорость можно записать так:

где угловая скорость вращения, и — скорость меридиональной циркуляции, а единичный вектор в азимутальном направлении. Следовательно, -компонент уравнений движения имеет вид

и выражает закон сохранения момента количества движения на единицу массы при движении частицы жидкости. Остальные компоненты уравнения (2) можно также переписать в виде

где единичный вектор в направлении Наконец, поскольку мы предполагаем осевую симметрию, в уравнениях (1) и (4) можно заменить на и.

Приведенные уравнения образуют систему семи соотношений с семью неизвестными функциями Таким образом, в принципе, строение вращающейся звезды с меридиональной циркуляцией полностью определяется этими уравнениями вместе с обычными начальными и граничными условиями. Однако, поскольку полное решение такой задачи представляет почти непреодолимые трудности, лучшее, что сейчас можно сделать, — это ввести новые упрощающие предположения. Особое внимание до сих пор уделялось стационарным решениям для которых скорость меридиональной циркуляции всюду мала по сравнению со

скоростью вращения При этих условиях уравнения (1) и (4) приобретают вид

Аналогично, уравнения (8) и (9) сводятся к следующим:

Уравнения (3), (5) и (6) остаются без изменений. Полученную систему дифференциальных уравнений обычно решают так. Сначала строят модель, удовлетворяющую уравнению (13) при некотором заданном распределении угловой скорости, а затем из уравнений (10) и (11) вычисляют скорость циркуляции. К сожалению, с точки зрения звездной гидродинамики, эти поля скоростей окажутся несогласованными, поскольку они должны подчиняться еще уравнению (12), на которое мы пока не обращали внимания. Как впервые указал Рандерс, из этого уравнения следует, что стационарное меридиональное течение в невязкой немагнитной звезде должно обязательно следовать вдоль поверхностей постоянного момента количества движения на единицу массы. Поскольку в стационарной картине циркуляции линии тока замкнуты, это требование несовместимо с динамической устойчивостью звезды [ср. с разд. 8.3, допущение (4)]. Поэтому любое «стационарное» решение, полученное на основе этого приближенного метода, неизбежно должно искажать заданное поле вращения за характерное время где средний радиус звезды, некоторая средняя скорость течения [ср. с формулой (49)]. Другими словами, меридиональная циркуляция, возникающая из-за несферичности вращающейся звезды, будет, вообще говоря, воздействовать на порождающее ее возмущение; следовательно, между циркуляцией и возбуждающей ее силой с необходимостью устанавливается непрерывное взаимодействие. Несмотря на то что это взаимодействие не учитывалось, для описания меридиональных движений в звезде пользовались почти исключительно стационарным методом, поэтому нужно критически относиться к основным результатам,

полученным с его помощью. Возможные модификации теории и роль градиента рассматриваются в разд. 8.3.

Прежде всего если задаваемая угловая скорость не зависит от (т.е. для всех псевдобаротропных моделей), то из уравнений (10), (11) и (13) можно немедленно вывести одно общее свойство. Согласно разд. 4.3, уравнение (13) в этом случае приобретает вид

где

С помощью уравнений (10) и (14) можно переписать уравнение (11) в виде

Рассмотрим теперь химически однородную звезду. Для такой звезды имеем

Интегрируя функцию по уровенной поверхности и пользуясь уравнением (10), в общем случае находим

где — уровенная поверхность [Второе из соотношений (17) попросту означает, что полный поток вещества через уровенную поверхность должен обращаться в При помощи уравнения (17) можно теперь переписать уравнение (16) в интегральной форме, так что полная мощность проходящая через уровенную поверхность, задается формулой

где полный объем, заключенный внутри поверхности Эта формула свидетельствует о том, что хотя лучистое равновесие и не соблюдается в каждой точке, оно соблюдается в среднем, т.е. при усреднении по уровенной поверхности. Итак, в рамках наших приближений меридиональная циркуляция в псевдобаротропной звезде в среднем не приводит к переносу энергии через уровенную поверхность. Этот результат (принадлежащий Роксбургу, Гриффиту и Свиту) оправдывает использование формулы (68) в разд. 5.4.

Для вычисления скорости циркуляции в слабо искаженных звездах предлагались различные методы возмущений. Поскольку по своей сути все они очень похожи, мы проиллюстрируем задачу на простом примере. (Предлагаемая теория восходит к Свиту и легко обобщается на случай более общих

законов вращения.) Рассмотрим химически однородную звезду и потребуем, чтобы она вращалась как твердое тело. Предположим далее, что отклонение от сферичности мало. Тогда удобно воспользоваться сферическими координатами Условие механического равновесия (13) приобретает вид

В наших предположениях мы можем разложить различные величины в ряд по малому параметру

где плотность в центре соответствующей невозмущенной сферической модели. Пусть, например,

где

температура в центре невозмущенной конфигурации. Текущий радиус для удобства измеряется в единицах k. Величины с индексом «0» соответствуют сферически симметричной модели. Поскольку этот способ есть не что иное, как обобщение метода Чандрасекара Милна (ср. с разд.

5.3), мы рассмотрим лишь уравнения, необходимые, чтобы описать способ вычисления скорости циркуляции. Кроме того, для краткости мы получим в явном виде только члены первого порядка. Как мы увидим, для дальнейших рассуждений существенны и добавки второго порядка; их можно определить точно таким же способом.

Исключая давление из уравнений (19) и (20), с точностью до первого порядка по найдем

Аналогично можно теперь исключить из уравнений (3) и (26) и получить уравнение второго порядка относительно функции Если мы напишем

то легко доказать, что радиальная функция удовлетворяет неоднородному уравнению

где ускорение силы тяжести в (известной) невозмущенной конфигурации. Физически допустимые решения уравнения (28) должны быть конечными при и стремиться к нулю при Теперь, когда для данной сферической модели найдена функция становятся известными и члены первого порядка уравнения (5), (20) и (26)].

На следующем этане выразим компоненты скорости и через эти известные функции. Пусть

и аналогично для ; кроме того,

Обратимся теперь к уравнению (11), которое можно переписать в виде

где удельная энтропия. Таким образом, вне центральных областей, где происходит ядерное горение, с точностью до первого порядка по получаем

где энтропия на единицу массы в сферической модели. Из уравнения (32) следует, что вращение создает в каждой точке полный поток энергии, направленный внутрь и равный - и что скорость циркуляции должна автоматически устанавливаться так, чтобы это количество энергии уносилось движением жидкости. Дифференцируя уравнения (32) и (6) по можно написать

где функция теперь известна. Отсюда имеем

где функцию можно определить из условия, что полный поток вещества через любую сферическую поверхность должен обращаться в нуль. Следовательно,

Таким же путем можно найти член второго порядка Следуя Махесварану, в конце концов получаем

где многочлены Лежандра, а некоторые функции, которые зависят от выбора сферической модели. Константы это соответственно полная светимость и полная масса, радиус звезды в нулевом приближении. Из уравнения неразрывности сразу находим -компонент скорости циркуляции.

Для конкретности определим теперь циркуляцию, возникающую вследствие вращения в модели Каулинга с точечным источником и постоянной средней атомной массой. Модель состоит из конвективного ядра и лучистой оболочки, причем вся энергия генерируется в ядре (т.е. епис в лучистой зоне). Скорости циркуляции первого порядка для модели Каулинга в состоянии медленного твердотельного вращения впервые вычислил Свит. Однако, как известно из пионерской работы Эпика, для однородно вращающейся звезды вычисления в первом порядке недостаточны и нужно обязательно учитывать «поправки» второго порядка. С точностью до этого порядка радиальный компонент скорости и равен

где величины с чертой сверху выражены в солнечных единицах. Функция имеет вид

где гладкие функции Как обычно, эффективный показатель политропы:

средняя плотность конфигурации. В модели Каулинга отношение а центробежной силы к силе тяготения на экваторе равно

В табл. 8.1 приведены значения функции для Из этих численных результатов следуют две важные особенности: 1) картину циркуляции можно изобразить в виде двух областей, движения в которых происходят в противоположных направлениях, 2) величина скорости циркуляции в основной части лучистой зоны, вообще говоря, мала, за исключением областей, близких к границе конвективного ядра и к поверхности лучистой оболочки Разберем оба результата по порядку.

Картина циркуляции, включающая две различные зоны, разделенные некоторой уровенной поверхностью, не является специфическим свойством модели Каулинга и была независимо предсказана Граттоном и Эпиком. Приведем аналитическое доказательство этого свойства, принадлежащее Местелу. Рассмотрим химически однородную звезду, вращающуюся как твердое тело. При помощи уравнений (7) — (12) из разд. 7.2 уравнение (31) сводится к виду

Таблица 8.1 (см. скан) Значения в см/с для однородно вращающейся модели Каулинга с Лучистая зона простирается от до [см. формулу (25)]

где

эффективная сила тяжести. (Напомним, что на уровенной поверхности непостоянно!) Деля уравнение (41) на и интегрируя по

уровенной поверхности, находим

поскольку в стационарном состоянии поток вещества через замкнутую поверхность отсутствует. Для удобства мы ввели средние значения

где площадь уровенной поверхности Затем, подставляя (45) в (41), получаем

В конвективно устойчивой зоне для движения против тяготения нужно затрачивать энергию; поэтому компонент скорости, нормальный к уровенной поверхности, направлен вверх, если правая часть уравнения (46) положительна. Если же для некоторого значения обращается в нуль, то циркуляция не пересекает соответствующую уровенную поверхность. Рассмотрим теперь реалистический случай звезды, в оболочке которой Тогда, согласно уравнению (44), обращается в нуль на той уровенной поверхности, на которой плотность удовлетворяет соотношению

Кроме того, поскольку на каждой уровенной поверхности эффективная сила тяжести достигает максимума на полюсах и монотонно убывает к экватору, выражение в круглых скобках в уравнении (46) отрицательно на обоих полюсах, положительно на экваторе и имеет по одному нулю в каждой полусфере. Итак, при меридиональная циркуляция направлена вверх на полюсах и вниз на экваторе. Во внешних областях, где имеет место обратная ситуация, а на поверхности циркуляция горизонтальна. Однако отметим, что результат Местела строго справедлив лишь при чисто твердотельном вращении (и при неприемлемом законе вращения где постоянные). На это обратил внимание Клемент при изучении картины циркуляции в дифференциально вращающихся звездах, поверхность которых целиком содержит линии тока меридионального течения. Во всех рассмотренных Клементом случаях, за исключением моделей с самым быстрым вращением, дифференциальное вращение в отличие от твердотельного не приводит к перемене направления циркуляции.

С помощью изложенных выше результатов легко оценить по порядку величины скорость циркуляции, которая возникает в основном объеме лучистой зоны твердотельно вращающейся звезды. Из формул (37) — (40) имеем

Отсюда время перемещения элемента массы от ядра до поверхности

звезды в общем случае приближенно равно

Итак, характерное время меридиональной циркуляции (которое обычно называют временем Эддингтона — Свита) равно времени Кельвина — Гельмгольца, деленному на отношение а возмущающей силы к силе тяжести. Однако пользоваться формулой (49) нужно с большой осторожностью, поскольку она дает глобальное характерное время, и, значит, в ней не учитываются самые близкие к поверхности слои, где дробь в члене второго порядка в выражении для и [см. формулу (38)] становится очень большой. В этих областях тверд отел вращающейся звезды соответствующее локальное характерное время

становится сколь угодно малым, если берется простое граничное условие нулевой плотности. Как показали Бейкер и Киппенхан, зависимость скорости от имеет место и у дифференциально вращающихся звезд, причем нежелательная особенность в этом случае появляется уже в членах первого порядка. Так или иначе, дело не в том, возникает ли эта зависимость от в членах первого или второго порядка, а в том, что во всех случаях нарушается одно из наших основных предположений — требование, что во всех точках конфигурации Отметим, наконец, что вблизи границы конвективного ядра мы сталкиваемся с аналогичной трудностью, и там, чтобы получить приемлемое локальное характерное время, приходится включать в формулу (49) подходящее среднее значение