10.3. ТВЕРДОТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩИЕСЯ ПОЛИТРОПЫ

Здесь нам удобнее рассматривать несжимаемые сфероиды Маклорена как последовательность политроп с показателем . В какой мере можно экстраполировать полученные выше результаты на центрально конденсированные политропы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью? При точное решение получить нельзя, и нам приходится прибегнуть к численному интегрированию. Вообще говоря, современные методы можно разбить на следующие три класса:

1. Численные расчеты Джеймса. Чтобы найти строение звезды около центра, плотность и гравитационный потенциал V разлагаются в степенные ряды по радиальной переменной. Коэффициенты в этих разложениях в свою очередь разлагаются по многочленам Лежандра Аналитическое продолжение, а затем пошаговое интегрирование описывают строение внешних областей. В настоящее время этот метод считается самым строгим и дает, по-видимому, очень точные результаты. (Ошибка вследствие отбрасывания членов в самом худшем из рассмотренных случаев составляет около Физические параметры твердотельно вращающихся политроп найдены в диапазоне

2. Разложения Чандрасекара — Милна (ср. с разд. 5.3). Самые подробные результаты получил Аикава (1971), который построил разложения до второго порядка по параметру

в широком диапазоне значений . В первом порядке по Монаган и Роксбург применили также модифицированное разложение Такеды (ср. с разд. 5.4).

3. Вариационные методы Робертса. В этих методах изопикнические поверхности считаются семейством сфероидов с (фиксировнным или переменным) эксцентриситетом Параметр и плотность опеределяются из условия, что для всех первых вариаций при которых сохраняется масса и момент количества движения конфигурации, приращение полной энергии первого порядка равно нулю. Много моделей такого типа простроили Хэрли и Робертс.

Осесимметричные модели

В сферических координатах уравнения равновесия сводятся к

(ср. с разд. 4.3). Интегрируя уравнение (29) для конфигурации, в которой давление и плотность связаны соотношением (2), получаем

где значение V на полюсах системы.

Производя замену переменных,

приведем уравнение (30) к виду

где измеряются в единицах Из уравнения Пуассона находим

Уравнение (34) нужно решать при условиях

при Кроме того, гравитационная сила должна быть непрерывной на неизвестной границе где давление (а значит, и обращается в нуль.

Джеймс проинтегрировал уравнение (34) численно. В табл. 10.2 и 10.3 приведены параметры последовательностей политроп с и 3: полярный и экваториальный радиусы эффективная сила тяжести на экваторе полная масса полный ооъем и моменты инерции

Только в этом разделе единицами длины, массы и времени служат соответственно [см. формулы (31) и (32)], так что в этих единицах мы сравниваем модели с одинаковой плотностью в центре а не с одинаковой массой. Мы сразу же замечаем, что на экваторе самой деформированной модели последовательности эффективная сила тяжести падает до нуля, однако эта предельная модель отнюдь не является бесконечно тонким диском. В общем случае при каждая последовательность заканчивается в некоторой точке, скажем ттах, которая зависит от показателя политропы. В табл. 10.4 приведены предельные значения физических параметров для различных значений При становится все труднее хоть с какой-нибудь разумной степенью точности определить внешнюю границу; в

Таблица 10.2 (см. скан) Физические свойства твердотельно вращающихся политроп

самом деле, с ростом твердотельно вращающаяся политропа все больше напоминает массивную точку в центре, окруженную протяженной оболочкой, в которой заключена ничтожная доля полной массы. Трудно определить и предельные значения ттах. Очень приближенно, если вдоль последовательности сфероидов Маклорена ттах то при ттах 0,12, а при становится меньше одной сотой, а когда показатель политропы стремится к своему предельному значению стремится к нулю. Таким образом, если требовать, чтобы центрально конденсированная политропа вращалась с постоянной угловой скоростью, то она не может

Таблица 10.3 (см. скан) Физические свойства твердотельно вращающихся политроп

запасти много кинетической энергии вращения, оставаясь при этом фигурой равновесия.

Учитывая это замечание, можно предположить, что при неплохие результаты должно давать разложение Чандрасекара — Милна, поскольку этот метод был специально разработан для построения конфигураций, мало отклоняющихся от сферической симметрии (ср. с разд. 5.3). Следуя Аикаве, находим во втором порядке по

где сферическое решение, т.е. функция Лейна — Эмдена для показателя Таблицы функций » о» 2» и 4 для Различных значений приведены в приложении константы и 4 Даны в табл. 10.5. Внешнюю границу можно представить в виде

Таблица 10.4 (см. скан) Предельные значения физических величин

где — первый нуль функции числа приведены в табл. с разд. 5.3, уравнение (53)].

В заключение интересно сравнить экваториальные радиусы, найденные при помощи следующих методов: численных расчетов Джеймса, разложений первого и второго порядка по и модифицированного разложения Такеды,

Таблица 10.5 (см. скан) Параметры строения для твердотельно вращающихся политроп

Рис. 10.7. Изменение экваториального радиуса твердотельно вращающихся политроп показателя Параметр определен формулой (28). Сплошная и штриховая линии — разложения первого и второго порядка по черные кружки — численные расчеты Джеймса, белый кружок — вариационный метод с переменным эксцентриситетом (Хэрли и Робертс), косые крестики — вариационный метод с постоянным эксцентриситетом (Робертс), прямой крестик — модифицированный Такеды (Монаган и Роксбург). Стрелками отмечены значения для последнего члена каждой равновесной последовательности.

вариационных методов с фиксированным и переменным эксцентриситетами. Экваториальный радиус пока является самым трудным для точного определения параметром. Из рис. 10.7 и 10.8 следует, что при стремлении к предельному значению даже разложение второго порядка плохо аппроксимирует численные результаты Джеймса. Вариационные методы не очень точны, потому что уровенную поверхность центрально конденсированного тела нельзя адекватно описать сфероидами (ср. с разд. 4.4). Тем не менее при интегральные величины (такие, как полная масса) во всех случаях определяются с большей точностью, поскольку внешние слои вносят очень малый вклад в выражения для этих величин. Как бы то ни было, такое сравнение позволяет оценить, какую ошибку можно ожидать в случае звезд главной последовательности, вращающихся как твердое тело, для которых точность нельзя проконтролировать (ср. с разд. 12.2).

Рис. 10.8. Изменения экваториального радиуса для твердотельно вращающихся политроп с показателем Обозначения те же, что на рис.

Колебания и устойчивость

Как было показано в предыдущем разделе, последовательность эллипсоидов Якоби ответвляется от последовательности сфероидов Маклорена в точке ; после этой точки осесимметричные фигуры приобретают вековую неустойчивость. Законно спросить, есть ли подобная точка бифуркации на последовательности твердотельно вращающихся политроп Как с высокой точностью показал Джеймс, при

на каждой последовательности осесимметричных твердотельно вращающихся политроп имеется точка бифуркации, в которой ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия. Если условие (39) не выполнено, то на последовательности твердотельно вращающихся политроп бифуркации нет.

Чтобы понять этот результат, вновь рассмотрим секториальные моды разд. 6.7]. Точные значения их частот вдоль последовательности сфероидов Маклорена определены формулами (16) и (17). Если заменить формулу (17) на

[ср. с разд. 6.7, формула (117)], то уравнение (16) дает приближенное решение для центрально конденсированных твердотельно вращающихся тел. (В настоящее время у нас нет способа оценить ошибки в однако можно показать, что в предельном случае при относительная погрешность нигде не превосходит На рис. 10.9 показано, как меняется вдоль последовательностей политроп с показателями и 1,0 (тшах 0,138 и 0,12 соответственно). Мы видим, что если нейтральная мода существует, то она всегда появляется в точке к примеру], которая при нашей точности не зависит от показателя политропы. Точнее говоря, при ттах (т.е. корень для одного из членов последовательности непременно обращается в нуль. Напротив, при тшах корень никогда не обращается в нуль, поскольку ни одна из моделей последовательности не может накопить достаточно кинетической энергии вращения, чтобы достичь фиксированной (или почти фиксированной) точки Наконец, при ттах (т.е. в точности обращается в нуль для предельной модели последовательности.

Для однородных сфероидов из существования нейтральной моды колебаний следует, что при действии какого-либо диссипативного механизма

Рис. 10.9. Секториальная частота для твердотельно вращающихся политроп с показателями (штриховая линия), (сплошная линия) и (штрихпунктирная линия) в зависимости от отношения Частоты приведены в единицах

вековая неустойчивость наступает за точкой с выражениями (20) и (26)], а отсюда следует, что в точке ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия, обладающие вековой устойчивостью. В случае центрально конденсированных политроп положение аналогично. В самом деле, если учесть вязкость, то частота несколько изменится

где

[ср. с формулами (16), (19) и (40)]. Таким образом, формула (20), которая соответствует предельной последовательности политроп с заменяется формулой (41). (Заметим, что при Как показала Миллер, реакция гравитационного излучения также приводит к вековой неустойчивости центрально конденсированных твердотельно вращающихся тел за точкой в этом случае интересующая нас частота по-прежнему адекватно определяется формулой (26), но нужно теперь вычислять по формулам (16) и (40) соответственно. Все остальные моды, рассмотренные в разд. 6.7, устойчивы; они либо затухают под действием этих двух диссипативных механизмов, либо нечувствительны к ним.

Итак, если больше то одна из секториальных частот становится комплексной за точкой т.е. после того как обращается в нуль или (ср. с примечанием на стр. 228). Другими словами, при в точке наступает вековая неустойчивость, а за этой точкой осесимметричные модели медленно переходят в конфигурации, обладающие вековой устойчивостью и точной симметрией относительно трех плоскостей. Напротив, при твердотельно вращающиеся политропы всегда обладают вековой устойчивостью, и поэтому бифуркация невозможна. Это помогает понять результаты, полученные Джеймсом на основе вычисления равновесных фигур.