3.3. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ

В рамках классической механики общие уравнения звездной гидродинамики включают в себя три фундаментальных принципа: 1) сохранение массы, 2) закон изменения импульса и 3) сохранение энергии. Сформулируем эти принципы по порядку.

Сохранение массы

Рассмотрим произвольный элемент жидкости Постулируем следующий принцип: масса, заключенная в любом элементе жидкости не изменяется при движении этого элемента, т.е.

Согласно уравнению (16),

Поскольку это уравнение справедливо для любого элемента жидкости, подынтегральная функция должна равняться нулю. Таким образом, в любой точке

или, согласно формуле (6),

Таков вид уравнения неразрывности, впервые выведенного Эйлером, в пространственных переменных.

Чтобы получить соответствующее уравнение в лагранжевых переменных, умножим обе части уравнения (21) на С помощью формулы (13) находим

где начальное распределение плотности.

В качестве простого применения закона сохранения массы перепишем уравнение переноса (16) в более удобном виде. Заменив в нем на и воспользовавшись уравнением (20), сразу же получаем

Закон изменения импульса

Этот фундаментальный принцип динамики внутренних слоев звезды можно сформулировать следующим образом: скорость изменения импульса элемента жидкости равна равнодействующей всех сил, действующих на этот элемент. В нашем случае достаточно учитывать только два вида сил:

1. Объемные силы, пропорциональные массе, заключенной в объеме Если отсутствует магнитное поле (см. разд. 3.6), то единственная объемная сила на единицу массы это гравитационное притяжение звезды. Тогда

а гравитационный потенциал йыражается так:

где гравитационная постоянная. Интеграл здесь берется по всему объему У, занимаемому звездой.

2. Поверхностные силы, пропорциональные площади поверхности, которая подвергается воздействию (например, давление и вязкие напряжения). Пусть вектор поверхностной силы, действующей на единичную площадь границы элемента жидкости Мы предполагаем, что вектор напряжений зависит от положения и от времени, а также от ориентации элемента поверхности т.е.

Тогда с помощью формул (24) и (26) закон изменения импульса можно записать следующим образом:

В соответствии с теоремой переноса (23) это выражение можно переписать и в такой форме:

Без потери общности вместо интегрирования по движущемуся объему в уравнении (28) можно интегрировать и по фиксированному объему.

Из уравнения (28) можно немедленно получить такое следствие. Пусть — величина элемента объема Деля обе части уравнения (28) на и переходя к пределу при стремящемся к нулю, получаем

Таким образом, в каждой точке жидкости поверхностные силы находятся в равновесии. Рассмотрим далее тетраэдр (рис. 3.1). Пусть площадь грани (с внешней нормалью равна Внешние нормали к остальным граням — , а площади этих граней равны соответственно Поскольку имеет порядок формулу (29) можно применить к тетраэдру и получить

где для краткости мы обозначили Согласно третьему закону Ньютона (равенство действия и противодействия),

Рис. 3.1.

поэтому

Следовательно, вектор напряжений можно выразить через три вектора напряжений, которые действуют на координатные плоскости. Отсюда сразу видно, что

или в векторных обозначениях

(Здесь и далее повторяющиеся буквенные индексы всегда означают суммирование.) Девять чисел являются девятью компонентами тензора напряжений Первый индекс показывает плоскость, на которун) действует напряжение, а второй — направление, вдоль которого оно действует.

Если подставить формулу (34) в (28) и применить теорему Гаусса, то получим

Поскольку элемент жидкости произволен, отсюда сразу следует, что

Это векторное уравнение впервые вывел Коши. Чтобы двигаться дальше, нужно найти подходящее выражение для тензора учитывая при этом как тепловое движение частиц, так и поле изучения.

Модель идеальной жидкости. В большинстве задач звездной гидродинамики сила, с которой окружающая жидкость действует на элемент массы, направлена по нормали к площадке его поверхности В таком случае мы выбираем следующую форму для компонентов вектора напряжений

Это уравнение определяет полное давление, которое в данное случае равно сумме теплового давления и давления излучения [см., например, формулу (71)]. Знак минус в уравнении (37) объясняется условным соглашением считать, что вектор напряжений это сила, с которой окружающие участки действуют на площадку поверхности. Очевидно, вектор направлен по нормали к элементу поверхности а его абсолютная величина не зависит от ориентации этой площадки. Из формул (33) и (37) следует, что тензор напряжений диагонален:

если если . Теперь с помощью формул (24) и (38) можно привести уравнения движения (36) к очень простому виду,

впервые полученному Эйлером:

Выведем также уравнения движения в форме Лагранжа — это понадобится нам в дальнейшем. Из формул (8) и (39) следует

Умножая обе части уравнения (40) на получаем

Это и есть нужные нам уравнения в лагранжевых переменных

Модель вязкой жидкости. В звездах, которые вращаются дифференциально, не всегда можно пренебрегать вязким трением. Другими словами, вектор напряжений составляет в этом случае некоторый угол с нормалью к поверхности, на которую он действует.

Для начала пренебрежем полем излучения и напишем

где компоненты тензора вязких напряжений (ср. с формулой (38)). Получить тензор в реалистической форме можно следующим образом. Рассмотрим тензор деформаций

Очевидно, этот симметричный тензор служит мерой относительного движения между различными элементами жидкости, поскольку, когда вещество локально покоится или когда оно вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью этот тензор обращается в нуль. Далее, следуя Стоксу, предположим, что компоненты являются линейными однородными функциями от С физической точки зрения такое соотношение соответствует условию, что внутреннее трение возникает лишь тогда, когда соседние элементы массы движутся с разными скоростями. Если, кроме того, в пространстве нет выделенных направлений, то, как можно показать, в выражение для через входят только два произвольных коэффициента. В стандартных обозначениях получаем в конечном счете

где коэффициенты сдвиговой вязкости и объемной вязкости зависят только от локальных термодинамических свойств среды Иногда удобно

ввести коэффициент кинематической вязкости полагая

Несколько сложнее обстоит дело с взаимодействием между веществом и излучением. Во всех ситуациях, с которыми обычно приходится сталкиваться при изучении внутренних слоев звезд, следуя Томасу, Хазлхерсту и Сардженту, можно описать это взаимодействие с помощью тензора лучистых напряжений, который по своей структуре похож на тензор напряжений для вещества В самом деле, лучистые напряжения можно разделить на давление излучения и касательные напряжения с коэффициентом лучистой вязкости который определяется формулой

где соответственно постоянная лучистого давления, скорость света и непрозрачность (которая в свою очередь зависит от и химического состава).

Подставляя полученные выше результаты в уравнение (36), придем к уравнению Навье — Стокса

где компоненты полного тензора

Поскольку в данном случае из-за наличия градиента скорости нарушается локальное термодинамическое равновесие, нужно уточнить, что мы понимаем под величиной которая встречается в выражениях (42) и (46). Условимся, что всюду далее обозначает полное давление, которое было бы при локальном термодинамическом равновесии, т.е. согласно уравнению состояния [см., например, формулу (71)]. Тогда, зная и химический состав, можно определить и это давление, однако оно уже не будет полным давлением в обычном смысле. В самом деле, из соотношения (47) следует, что среднее значение сил, действующих на единичные площадки трех координатных плоскостей, равно Заметим, что разность между полным давлением и средним давлением пропорциональна т.е. скорости относительного изменения объема бесконечно малой частицы жидкости.

Граничные условия. Каким бы уравнением, (39) или (46), мы ни пользовались, на свободной поверхности звезды необходимо наложить соответствующие граничные условия. Во-первых, на всей границе Усила гравитации должна быть непрерывна. Согласно формуле (25), это условие всегда выполняется. Во-вторых, на поверхности звезды вектор напряжений должен обращаться в нуль. Таким образом, мы требуем

где компоненты внешней нормали к поверхности У В случае идеальной жидкости эти три условия сводятся к одному

Число граничных условий уменьшается, потому что в модели идеальной жидкости нет производных второго порядка, входящих в уравнение (46).

Вращающаяся система отсчета. В некоторых приложениях удобно описывать движение с точки зрения наблюдателя, который покоится относительно системы отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью 0. Мы можем написать

где скорость относительно движущей системы отсчета. Аналогично, ускорение элемента массы (7) имеет вид

где соответственно кориолисово ускорение и потенциал центробежной силы. Поскольку тензор инвариантен по отношению к твердотельному вращению, уравнения Навье — Стокса (46) приобретают вид

Субстанциональная производная вычисляется здесь во вращающейся системе отсчета.