6.8. СТАТИЧЕСКИЙ И КВАЗИДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ

В двух предыдущих разделах мы описали некоторые практические приемы для определения частот колебаний вращающейся звезды. Как мы увидим, полезную информацию об устойчивости равновесной конфигурации можно получить и не прибегая к таким трудоемким процедурам. Статический метод позволяет вывести простой критерий устойчивости осесимметричных движений, причем требуется построить лишь равновесные модели без каких-либо дальнейших вычислений. Квазидинамический метод дает схему численного решения уравнений равновесия; он также включает проверку на устойчивость, которую иначе пришлось бы проводить отдельно.

Оба способа анализа опираются на то обстоятельство, что полная энергия, экстремальная у стационарно вращающихся звезд, минимальна при устойчивом равновесии и не может быть минимальной при неустойчивом. В этом легко убедиться. Умножим обе части уравнения движения (21) скалярно на и проинтегрируем по объему У. Интегрируя по частям и учитывая, что на поверхности звезды давление обращается в нуль, находим

где Как известно, при изоэнтропическом движении

где V — тепловая энергия на единицу массы [см. разд. 3.4, уравнение (70)].

В силу формулы (95) отсюда следует, что

где полная тепловая энергия. Аналогично, можно написать

где гравитационная потенциальная энергия. С помощью уравнений (126) и (127) можно сразу проинтегрировать уравнение (124) и получить

Предположим теперь, что на состояние равновесия накладывается осесимметричное движение. Тогда уравнение (128) приобретает вид

где поле скоростей осесимметричной пульсации, полная энергия, т.е.

где момент количества движения на единицу массы.

Ясно, что всякое увеличение кинетической энергии пульсации должно происходить за счет полной энергии Следовательно, для устойчивых изоэнтропических пульсаций невязкой звезды, находящейся в состоянии стационарного вращения, эта энергия должна быть минимальной, что и требовалось доказать.

Определим теперь первую и вторую вариации при постоянных полной массе и полном моменте количества движения Устойчивое равновесие соответствует условиям

В случае осесимметричных пульсаций момент количества движения сохраняется для каждого элемента массы; поэтому и можно написать

Аналогично, при изоэнтропическом движении поэтому из уравнения (125) следует, что

С помощью формул (94) находим

Наконец, согласно формуле (105), первая вариация гравитационной энергии равна

Из соотношений (132), (134) и (135) следует

где единичный вектор в направлении Как мы и ожидали, состояние стационарного вращения определяется условием формулы (18) — (20)]. Подобным же образом легко доказать, что

С помощью формул (20), (24), (67), (75) и (76) можно записать уравнение (137) в компактном виде

Теперь становится ясным физический смысл условия Лебовица (78): если существует виртуальное смещение такое, что

то и полная энергия не является абсолютным минимумом. В общих чертах приведенный вывод принадлежит Фьертофту, который, однако, не учитывал самогравитацию. Полезная роль критерия Фьертофта — Лебовица станет ясной в разд. 7.3.

Статический метод. Чтобы описать этот подход (впервые предложенный Зельдовичем), ограничимся сначала случаем сферических звезд. Рассмотрим последовательность равновесных моделей, которые удовлетворяют заданному уравнению состояния и имеют фиксированное распределение энтропии на единицу массы где масса, заключенная внутри сферы объема Такое семейство можно параметризовать, например, при помощи плотности в центре каждой модели. Тогда каждому значению параметра соответствует равновесная модель массы это семейство можно изобразить в виде кривой, откладывая на плоскости массу в зависимости от плотности в центре. Статический критерий гласит, что в каждой точке максимума (или минимума) кривой одна из нормальных мод радиальных пульсаций изменяет устойчивость (т.е. ), в остальных же точках изменения устойчивости не происходит. Интуитивно этот результат можно понять следующим образом. Предположим, что кривая достигает экстремума в точке (т.е. при ). Тогда для каждой модели, масса которой сколь угодно близка к в окрестности точки найдется новая модель такой же массы, но с другой плотностью в центре. Другими словами, каждую из этих моделей можно

получить из «соседней» конфигурации посредством бесконечно малого смещения которое не зависит от времени. Следовательно, в точке квадрат частоты принадлежащий к какой-то радиальной моде колебаний, должен менять знак. Это и означает изменение устойчивости в каждом экстремуме кривой Как показал Торн, четные моды теряют устойчивость в точках максимума кривой а нечетные в точках минимума. Статический метод широко использовался при исследовании устойчивости звезд высокой плотности. Особенно полезен он тем, что позволяет обойтись без подробных вычислений радиальных мод колебаний.

Как мы теперь покажем, еще более детальный критерий устойчивости можно получить, экстремизируя полную энергию Для сферической системы имеем

где полный объем звезды и

причем штрих означает дифференцирование по объему Как известно, функционал достигает экстремума (т.е. если распределение массы удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа

Чтобы найти знак второй вариации введем функцию удовлетворяющую уравнению Якоби

и условиям

Тогда будет положительно в том и только в том случае, когда выполняются следующие два условия функция положительна, а функция не имеет нулей в области

С помощью хорошо известных термодинамических соотношений (справедливых только для изоэнтропических движений)

находим

Теперь легко убедиться, что уравнение (142) сводится к условию гидростатического равновесия

Далее, с учетом соотношений (147) уравнение Якоби приобретает вид

а условие Лежандра всегда выполняется.

Рассмотрим теперь семейство сферических звезд, о котором говорилось выше. Для каждой модели распределение массы можно считать функцией от т.е. Продифференцировав уравнение (142) по параметру получим

так как это начальное условие и поэтому не может явно входить в уравнение гидростатического равновесия. Уравнение (150) можно переписать и в следующем виде:

Кроме того, поскольку вблизи центра находим

Сравнивая формулы (143) и (144) с (151) и (152), мы видим, что функции удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям и одинаковым начальным условиям. Отсюда следует, что

в частности, при имеем

Формула (154) заключает в себе доказательство статического критерия. В самом деле, если то функция имеет нуль в точке и вторая вариация для соответствующей модели не может быть строго положительной. Еще интереснее физическое содержание уравнения (153). Рассмотрим плоскость и нанесем на нее непрерывное семейство кривых где пробегает значения от до У. [Ясно, что

самая верхняя кривая совпадает с кривой которой мы пользовались в статическом критерии. Если какая-нибудь кривая из этого семейства достигает экстремума то функция имеет нуль в области следовательно не может быть строго положительно. Итак, можно сформулировать следующее утверждение: все модели семейства устойчивы относительно радиальных пульсаций в таком диапазоне изменения центральных плотностей, в котором ни одна из кривых не достигает экстремума. Теперь можно заключить, что статический критерий Зельдовича позволяет отыскать (дискретные) значения при которых изменяется устойчивость, тогда как уравнение (153) дает возможность определить (непрерывный) диапазон изменения центральных плотностей, в котором модели звезд из семейства неустойчивы по отношению к радиальным изоэнтро-пическим возмущениям. Совершенно такое же рассмотрение можно провести и в рамках общей теории относительности.

С учетом этих рассуждений статический метод уже нетрудно обобщить на случай баротроп и псевдобаротроп в состоянии стационарного вращения. Рассмотрим опять семейство вращающихся моделей с одним и тем же уравнением состояния с фиксированными распределениями на единицу массы энтропии и момента количества движения где доля массы, заключенная в цилиндре радиуса Поскольку обе эти функции (а также сохраняются при изоэнтропических осесимметричных пульсациях, то, определяя точки экстремума кривой на плоскости мы можем выяснить вопрос об устойчивости относительно этих движений. Эту задачу впервые рассмотрели Хартль и Торн в рамках общей теории относительности. Впоследствии Бисноватый-Коган и Блинников выполнили более строгий анализ, включив в него также численные примеры для вращающихся политроп и белых карликов, Как указали эти авторы, обобщенный статический критерий при всей своей простоте не лишен недостатков. Во-первых, поскольку этот метод дает лишь точки изменения устойчивости при переходе через нейтральную моду, область его применения неизбежно ограничивается такими модами, для которых всегда действительное число, т.е. осесимметричными пульсациями [см. формулу (80)]. Во-вторых, как известно из других методов, вращение связывает различные и -моды, рассмотренные в разд. 6.4, поэтому вопрос о правильном отождествлении нейтральной моды может в конечном счете оказаться довольно запутанным. Тем не менее статический критерий способен принести пользу при изучении влияния вращения на возникновение осесимметричных конвективных движений. Для решения этой задачи необходимы дальнейшие исследования (см. разд. 14.5).

Квазидинамический метод. Цель этого подхода — решение уравнений, описывающих состояние стационарного вращения. Как обычно, имеем

где

и мы предполагаем, что уравнение состояния имеет вид В рассматриваемом методе уравнение (155) заменяется квазидинамическим уравнением

где мы полагаем а через обозначен некоторый непрерывный параметр. Как мы увидим, уравнение (157) можно решить при помощи некоторого итерационного процесса, который сходится к решению уравнения (155) в том и только в том случае, когда соответствующая модель динамически устойчива по отношению к осесимметричным пульсациям. Этот метод принадлежит Ковецу, Лебовицу, Шавиву и Зисману, он обобщает известную схему Ракави — Шавива — Зинамона для сферических звезд.

Рассмотрим пробное, или «начальное», распределение массы и зададим в каждой точке энтропию на единицу массы и момент количества движения на единицу массы. Тем самым введены все физические переменные, встречающиеся в уравнении (155), но само оно при этом не обязательно выполняется. Рассмотрим далее семейство преобразований

такое, что например, при а функции подчиняются следующим требованиям:

где квазискорость и обозначает величину Разумеется, на этом этапе преобразование (158) произвольно. Потребуем теперь, чтобы оно служило решением задачи Коши для квазидинамического уравнения (157). Мы предполагаем, что стационарная форма этого уравнения, а именно уравнение (155), имеет решение при заданных распределениях энтропии и момента количества движения. Иначе говоря, мы предполагаем, что существует преобразование которое служит решением уравнения (155). Теперь мы покажем, что это стационарное решение уравнения (155) является асимптотически устойчивым, т.е.

тогда и только тогда, когда стационарное решение динамически устойчиво в обычном смысле.

Обозначая внутреннюю энергию на единицу массы через можно

написать

для полной энергии конфигурации (не обязательно в состоянии стационарного вращения). Дифференцируя по пользуясь условием (159), определением квазискорости и и тем, что давление на поверхности обращается в нуль, находим

[ср. с формулой (136)]. Далее, если справедливо уравнение (157), то из уравнения (162) следует

причем равенство достигается лишь при когда справедливо стационарное уравнение (155).

Пусть теперь полная энергия искомой стационарной конфигурации. Если по сравнению со всеми близкими виртуальными конфигурациями минимальна, то это стационарное решение асимптотически устойчиво вследствие неравенства (163). Показать это можно следующим образом. Пусть преобразование (158) не определяется квазидинамическим уравнением, а является произвольным с тем единственным требованием, что при некотором значении параметра, скажем оно дает стационарное решение. Тогда функция произвольна; однако уравнение (162) остается справедливым, поскольку оно зависит только от дополнительных условий (159), которые по-прежнему выполняются. Легко видеть, что

где штрих означает производную по Мы получаем также

[ср. с формулой (137)]. Производная по в формулах (159) и (165) вычисляется при фиксированном X и поэтому является лагранжевой. Таким образом, имеем

где оператор К определен формулой (67); аналогично, пользуясь определениями (75) и (76), находим

[ср. с формулой (138)]. По критерию Фьертофта — Лебовица (139) из формулы (167) следует, что положительно определено, если конфигурация динамически устойчива, а отрицательные значения может принимать, только если конфигурация динамически неустойчива. Тем самым применимость квазидинамического метода для моделей вращающихся звезд доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)