12.2. МОДЕЛИ ЗВЕЗД ГЛАВНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Вообще говоря, влияние вращения на внутреннее строение химически однородной звезды главной последовательности проявляется двояко: в глобальном расширении звезды за счет локальной центробежной силы и в отклонении от сферичности за счет несферической составляющей эффективной силы тяжести. Первый эффект приводит к уменьшению полной светимости звезды по сравнению с невращающейся звездой той же массы. Вследствие второго эффекта возникает зависимость наблюдаемой эффективной температуры и звездной величины от наклона оси вращения к лучу зрения (см. разд. 12.3). В настоящее время эти изменения пытаются оценивать в основном при помощи моделей двух типов: твердотельно вращающихся и дифференциально вращающихся, в которых угловая скорость зависит только от расстояния до оси вращения. В обоих случаях вязкостью, циркуляционными течениями и магнитными полями полностью

пренебрегают. Тем самым, согласно теореме Пуанкаре — Вавра (см. разд. 4.3), модели обеих групп обладают всеми механическими свойствами баротроп, несмотря на то, что полное давление связано с плотностью температурой и химическим составом заданным уравнением состояния! Поэтому мы вправе ожидать, что четкое различие, которое было найдено между твердотельно и дифференциально вращающимися политропами, выявится и в рассматриваемых последовательностях псевдобаротропных моделей звезд главной последовательности (ср. с разд. 10.5). Иными словами, последовательности твердотельно вращающихся звезд должны обрываться на модели с нулевой эффективной силой тяжести на экваторе (т.е. в точке так называемого предела вращения), тогда как последовательности дифференциально вращающихся звезд не должны обрываться, что приводило бы к гораздо более заметным наблюдаемым эффектам, чем при твердотельном вращении. Из дальнейшего станет ясно, что дело обстоит именно так.

Твердотельно вращающиеся модели

Первыми влияние твердотельного вращения на светимость и эффективную температуру звезды главной последовательности рассмотрели Свит и Рой. В качестве модели они выбрали слабо искаженную медленным вращением модель Каулинга: Однако первые подробные модели твердотельно вращающихся звезд главной последовательности были построены только в 1968 г. Фолкнером, Роксбургом и Штриттматтером. При помощи метода возмущений Такеды они рассмотрели модели карликов промежуточных классов массами (В этих расчетах учтены подробные данные о непрозрачности и о выделении ядерной энергии, с особой тщательностью определяются граничные условия на внешней поверхности. Затем Сакманн и Ананд применили метод Такеды к звездам главной последовательности с массами в пределах от 5 до 15 . (Они учитывали лучистое давление, но на поверхности принимали простое условие Таким же методом Сакманн воспользовалась в дальнейшем при построении моделей с массами в диапазоне в которых учитывалось лучистое давление и аккуратно описывались внешние слои. (Сферические решения получены ею с помощью программы Киппенхана — Вайгерта — Хофмайстера, Киппенхан и Томас применили описанный в разд. 5.4 метод возмущений к звездам главной последовательности с массами Наконец, с помощью сходного метода Папалоизу и Уэлен позднее построили подробные модели твердотельно вращающихся звезд с массами в пределах

Прежде всего, поскольку оценки погрешностей не приводились, эти твердотельно вращающиеся модели нужно сравнить между собой. (В связи с этим обратите особое внимание на рис. 10.7 и 10.8!) В табл. 12.1 приведены изменения светимости и полярного радиуса для всех

моделей вблизи предела вращения, т.е. для моделей, вращающихся быстрее всего ( светимость и радиус сферической модели той же массы соответственно). Видно, что, несмотря на большое разнообразие методов и исходных физических данных, серьезного расхождения между различными результатами нет. В частности, максимальное изменение светимости, обусловленное твердотельным вращением, для массивных моделей составляет примерно от 7 до 10%, для маломассивных моделей с лучистой

Таблица 12.1 (см. скан) Сводка результатов нескольких авторов об изменениях светимости и полярного радиуса в процентах при предельном вращении

Рис. 12.1. Температура в центре в зависимости от центральной плотности для звезд главной последовательности. Кривая проведена по данным, относящимся к «евращающимся звездам (точки). Крестики относятся к звездам, вращающимся со скоростью, близкой к критической. Числа около кривой — масса моделей.

оболочкой несколько меньше, а для маломассивных звезд с конвективной оболочкой — приблизительно от 15 до 35%. Однако, как указали Папалоизу и Уэлен, последний результат — наверняка самый неточный, поскольку на него сильнее всего влияют химический состав, длина перемешивания и другие плохо известные физические факторы (см. разд. 8.4). Принимая во тнмание, что все эти расчеты хорошо согласуются между собой, мы будет теперь излагать работу Сакманн.

Еще в 1923 г. Милн заметил, что при твердотельном вращении полная светимость звезды уменьшается, т.е. твердотельно вращающаяся звезда Шссы должна иметь такие же свойства в центре, как невращающаяся звезда массы На рис. 12.1 приведен подробный расчет, подтверждающий это утверждение. Мы видим, что значения для вращающихся звезд вблизи предела вращения в точности ложатся на кривую для невращающихся звезд, но несколько сдвигаются в сторону меньших масс. (Отметим, что наибольшее расхождение между значениями у звезд, вращающихся с критическими скоростями, и невращающихся звезд составляет всего 0,001 для и 0,004 для Как показала Сакманн, отношение с хорошей точностью задается формулой

Где положительная величина это средневзвешенное по давлению

отношение центробежной силы к силе тяготения по всей звезде. Табл. 12.2 иллюстрирует этот эффект, эквивалентный снижению массы при предельном вращении вдоль главной последовательности.

Таблица 12.2 (см. скан) Процентное уменьшение массы, необходимое, чтобы давления в центрах критически вращающейся и невращающейся моделей совпадали

Как влияет вращение на давление и температуру в центре звезды вдоль главной последовательности? На рис. 12.2 показаны изменения этих величин для твердотельно вращающихся моделей вблизи предела вращения. Мы видим, что на главной последовательности имеется критическая точка, в которой последствия вращения коренным образом меняются. При величина растет за счет вращения, а для масс ниже уменьшается, с другой стороны, из-за вращения всегда уменьшается, но для масс ниже ее изменение усиливается. Чтобы понять эти особенности, нужно проанализировать, как меняются на главной последовательности в невращающихся звездах (рис. 12.3 и 12.4). В этом случае давление в центре не растет монотонно вдоль главной последовательности, а достигает максимума при кривой, описывающей температуру в центре, такого пика нет. Но поскольку вращение эквивалентно

(кликните для просмотра скана)

Рис. 12.4. Температура в центре в зависимости от массы вдоль главной последовательности для невращающихся звезд.

снижению массы, изменения, изображенные на рис. 12.2, можно получить, если сдвинуть точки на рис. 12.3 и 12.4 в направлении меньших масс. Этим сразу объясняются изменения давления к температуры в центре при твердотельном вращении. Крутым наклоном кривой на рис. 12.4 ниже объясняются и столь большие изменения температуры в центре звезд поздних спектральных классов из-за вращения.

Относительные изменения светимости и полярного радиуса при максимальной скорости вращения хорошо иллюстрируются в табл. 12.1. Например, в расчетах Сакманн практически постоянно и равно для масс от 20 до падает до минимального значения 5% при а затем так быстро растет, что максимальная доля изменения светимости для звезды с в 2,5 раза больше, чем для звезды с Те же особенности характерны и для отношения почти постоянное для звезд ранних спектральных классов, оно падает примерно до при и круто растет до 6,4% при Такие большие изменения светимости и полярного радиуса у холодных звезд вызваны опять-таки переходом от углеродно-азотного цикла к протон-протонной цепочке (ср. с примечанием на стр. 290).

Для полноты картины рассмотрим еще изменения критической экваториальной скорости в точке предела вращения вдоль главной последовательности (рис. 12.5). Для звезды с (соответствующей спектральному классу где наблюдаются самые быстровращающиеся звезды класса подсчитано, что критическая скорость равна Это

Рис. 12.5. Критическая экваториальная скорость в зависимости от массы вдоль главной последовательности.

значение хорошо согласуется с наблюдаемой скоростью самого быстрого вращения у звезды, а именно Персея: (измеренной Слеттебаком). Скорость монотонно убывает при движении вдоль главной последовательности от звезд с массами к звездам и снова возрастает, когда масса становится меньше Объяснение этого обращения легко дать с помощью рис. 12.6, на котором показана зависимость от массы угловой скорости и среднего радиуса при критической скорости вращения. В верхней части главной последовательности слабо зависит от массы, так что поведение определяется радиусом. Однако для масс ниже растет быстрее, чем убывает вызывая тем самым общее увеличение с уменьшением массы.

Итак, для любой массы на главной последовательности можно построить серию твердотельно вращающихся моделей с монотонно убывающими При этом каждая серия обрывается на модели, у которой эффективная сила тяжести на экваторе обращается в нуль. Вышеприведенные результаты позволяют предположить, что твердотельное вращение действительно можно считать малым возмущением строения невращающейся звезды. Однако следует подчеркнуть, что числа, приведенные в табл. 12.1, показывают лишь общую тенденцию влияния твердотельного вращения, поскольку меридиональные течения и другие механизмы, за счет которых непрерывно переносится момент количества движения, не

Рис. 12.6. Изменение угловой скорости (а) и среднего радиуса в зависимости от массы вдоль главной последовательности вблизи предела вращения.

рассматривались вовсе. По той же причине с помощью этих моделей нельзя объяснить падение скорости вращения звезд вблизи спектрального класса эта проблема подробно рассмотрена в разд. 11.4.

Дифференциально вращающиеся модели

Влияние дифференциального вращения на строение звезд верхней части главной последовательности впервые рассмотрел Марк в 1968 г. Его расчеты, основанные на методе самосогласованного поля и политропном приближении (см. разд. 5.5), привели к важному результату: быстрое дифференциальное вращение существенно влияет на массивные звезды главной последовательности и, в частности, на соотношение их массы и светимости. Впоследствии Боденхеймер, а также Монаган и Смарт независимо провели расчеты полной системы четырех уравнений внутреннего строения звезды, т.е. с учетом уравнений сохранения и переноса энергии. Поскольку обе последовательности моделей качественно согласуются с результатами Марка, мы проиллюстрируем главные особенности моделей дифференциально вращающихся звезд на примере расчетов Боденхеймера — самых подробных и многочисленных.

Как говорилось в разд. 5.5, для описания строения и эволюции

псевдобаротропных моделей Джексон развил итерационную схему. Боденхеймер успешно применил этот метод (который объединяет метод Хениея для решения уравнений внутреннего строения звезды с методом самосогласованного поля, предложенным Острайкером и Марком) для расчета строения химически однородных звезд главной последовательности массами Как обычно при таком анализе, модели вычислялись в предположении осевой симметрии, а магнитные поля, вязкое трение и меридиональные течения не учитывались. Помимо полной массы и химического состава необходимо задать полный момент количества движения и закон вращения, в котором распределение момента количества движения выражается через долю массы в цилиндре радиуса коаксиальном оси вращения. На рис. 12.7 показаны три заданных закона дифференциального вращения (кривые и функция соответствующая модели при твердотельном вращении (кривая D). В последнем случае момент количества движения в основном сосредоточен во внешних слоях, а в случаях он все в большей степени концентрируется к центру. Кроме того, во всех случаях является возрастающей функцией удовлетворяет критерию динамической устойчивости Хейланда (ср. с разд. 7.3). Распределение момента количества движения в цилиндре, содержащем конвективное ядро, отдельно не рассматривается, не учитывается и роль вращения в возникновении конвекции (см. разд. 14.5).

Боденхеймер построил семь серий химически однородных звезд главной последовательности, в каждой из которых масса, химический состав и фиксированы, а значения возрастают. Из рис. 12.8 следует,

Рис. 12.7. Момент количества движения на единицу массы для трех заданных законов дифференциального вращения (кривые и для твердотельно вращающейся модели

Рис. 12.8. Теоретическая диаграмма Герцшпрунга — Рессела, на которой изображены последовательности моделей с растущим моментом количества движения (сплошные линии). Числа у кривых — расчетные скорости вращения на экваторе Распределение момента количества движения для каждой последовательности указано буквами или Штриховая линия — главная последовательность невращающихся звезд.

во-первых, что быстрое дифференциальное вращение существенно влияет на соотношение между массой и светимостью. Например, светимость модели с массой (случай А) может уменьшиться в 5,5 раза по сравнению со светимостью невращающейся модели. Последние модели в различных последовательностях, изображенных на рис. 12.8, не являются предельными ни в каком физическом смысле, поэтому возможны конфигурации с еще меньшими светимостями Во-вторых, дифференциально вращающиеся модели смещаются вправо от невращающихся звезд главной последовательности нулевого возраста. Расчетные значения экваториальной скорости хорошо укладываются в наблюдаемый диапазон для верхней части главной последовательности, где средняя скорость звезд поздних подклассов О и ранних подклассов В равна примерно а максимальная раза в два больше. Наконец, мы видим, что дифференциально вращающиеся модели населяют ту же область диаграммы Герцшпрунга — Рессела, что и твердотельно вращающиеся звезды, и имеют сравнимые с ними скорости вращения на экваторе.

Рис. 12.9. Подробное строение трех моделей с полный экваториальный радиус. Заштрихованная область изображает конвективное ядро. В верхних частях показаны изопикнические поверхности, содержащие доли массы 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,95; 0,999 и 1,0. В нижних частях приведено отношение угловой скорости к ее значению в центре доля полной массы, заключенная в цилиндре соответствующего радиуса вокруг оси вращения, и отношение скорости вращения к ее значению на поверхности Звездочкой показана граница конвективного ядра.

На рис. 12.9 показаны характеристики вращения трех моделей массой (случай А). Заметим, что вблизи полюсов они существенно сплюснуты: отношение экваториального радиуса к полярному достигает 4. В результате искажения внешних слоев при этом образуется тороидальная структура. Однако внутренние области искажены в меньшей степени, и отношение радиусов на уровенной поверхности, содержащей 20% массы, достигает всего 2,5. Кроме того, в самых искаженных моделях сила тяжести на поверхности у полюсов иногда достигает значений, в 11 раз больших, чем у экватора. Поэтому следует ожидать, что видимая звездная величина таких конфигураций сильно зависит от ориентации оси вращения (см. разд. 12.3). Однако, несмотря на большие значения в некоторых случаях, ни Одна из этих моделей не приближается к пределу нулевой эффективной силы тяжести на экваторе. (Например, для наиболее сильно искаженной на рис. 12.9 отношение центробежной силы к силе тяготения на

Рис. 12.10. Последовательности вращающихся моделей с увеличивающимся моментом количества движения J (сплошные линии) на плоскости Числа у кривых — логарифм в единицах Во всех случаях берется закон вращения А. Штриховая линия — главная последовательность невращающихся звезд.

экваторе равно Наконец, в отличие от случая твердотельного вращения условия в центральных областях под действием дифференциального вращения сильно меняются. Как видно на рис. 12.10, с ростом конфигурации сдвигаются вниз почти параллельно главной последовательности невращающихся звезд. (Например, при законе вращения А условия в центре последней из моделей приблизительно такие же, как в невращающейся модели массой, в три раза меньшей.) С ростом давление в центре медленно увеличивается, т.е. ведет себя так же, как в невращающихся моделях при уменьшении массы (рис. 12.3).

Как же зависят эти результаты от принятого распределения момента количества движения внутри модели? Из рис. 12.8 очевидно, что твердотельно вращающиеся модели (случай смещаются почти горизонтально, между тем как модели, соответствующие случаю С, смещаются вниз и вправо почти параллельно главной последовательности невращающихся звезд. Таким образом, чем выше степень концентрации момента количества движения к центру, тем круче наклон смещения, вызванного увеличением В таком поведении отчетливо проявляется влияние вращения на радиус звезды в зависимости от В самом деле, при данном сосредоточение момента количества движения у поверхности приводит к росту

радиуса вследствие более сильного влияния центробежной силы на внешние слои. Другими словами, при данных массе и скорости вращения на поверхности изменение болометрической звездной величины решающим образом зависит от распределения момента количества движения внутри звезды. В предельном случае твердотельного вращения практически не отличается от своего значения в отсутствие вращения даже при в противоположном предельном случае, когда момент количества движения в значительной степени сосредоточен в центре, изменение может значительно превышать уже при Однако при данных значениях полной массы и момента количества движения болометрическая звездная величина вращающейся звезды практически не зависит от распределения момента количества движения. На рис. 12.11 показано, в какой мере это утверждение справедливо для звезд массой (Чтобы проверить его справедливость для более низких значений массы, требуются дальнейшие расчеты.) Из рис. 12.11 следует также, что при данном значения малочувствительны к но отнюдь не столь независимы от него, как светимость.

Посмотрим теперь, как влияет вращение на время жизни звезды на главной последовательности. С этой целью Боденхеймер определяет величину которая, если судить по ядерной энергии, содержащейся во всем конвективном ядре в начальный момент, служит оценкой времени жизни на главной последовательности в годах. (Величина примерно вдвое больше истинного времени жизни на главной последовательности, тем не менее она полезна при сравнении вращающихся и невращающихся моделей.) Согласно Боденхеймеру, время может увеличиваться более чем в два раза вдоль последовательности моделей с и примерно в три раза для Однако время жизни моделей с как правило, лишь на 25% больше, чем невращающейся модели той же светимости, а модели с больше лишь на 50%. Пои данных значение почти не зависит от но если заданы то по-прежнему зависит от вида оставаясь в предельном случае твердотельного вращения почти таким же, как в отсутствие вращения.

Эти результаты можно резюмировать следующим образом. Положение модели звезды главной последовательности (с данными на диаграмме Герцшпрунга — Рессела самым решительным образом зависит от распределения момента количества движения вследствие его влияния на экваториальный радиус. Последовательность моделей с растущим лишь в том случае располагается вблизи главной последовательности невращающихся звезд, если момент количества движения очень сильно концентрируется к центру, в противном случае конфигурации ложатся правее нее. Тот факт, что нельзя непосредственно узнать вид функции в звездах, а также неопределенность в наклоне осей вращения к лучу зрения значительно затрудняют сравнение этих моделей с наблюдениями. Кроме того, хотя окончательной оценки времени Эддингтона — Свита для дифференциально вращающихся звезд нет (см. разд. 8.3), грубый расчет Монагана и Смарта

Рис. 12.11. (см. скан) Температура в центре, плотность в центре и светимость в зависимости от момента количества движения для вращающихся моделей с с учетом изменений в распределении Сплошными линиями соединены точки, соответствующие закону вращения светимость невращающейся модели.

указывает на то, что характерное время циркуляции для звезды и с наибольшим (заданным) моментом количества движения, по-видимому, составляет около 105 лет. Поскольку характерное время эволюции таких массивных звезд всего около 106 лет, можно усомниться, оправдана ли на современном этапе высокая точность, которую дают сложные итерационные схемы. Ясно, что для дальнейшего прогресса в нашем понимании звезд главной последовательности нужна согласованная теория меридиональных течений в звездах, сильно отклоняющихся от сферической симетрии (см. разд. 8.3).

В заключение этого краткого обзора дифференциально вращающихся

моделей звезд главной последовательности скажем несколько слов о соотношении между для звезд с вблизи середины наблюдаемого диапазона. При данном значении увеличение степени концентрации момента количества движения к центру соответствует росту при данной массе Поэтому результаты Боденхеймера позволяют думать, что момент количества движения звезды с данными массой и может в раз превышать значение, полученное Крафтом в предположении твердотельного вращения. Как указали Боденхеймер и Острайкер (см. разд. 11.4), существенный разрыв между значениями момента количества движения на единицу массы, выведенными для одиночных звезд в предположении твердотельного вращения, и для двойных звезд можно в значительной степени заполнить, если удастся доказать, что хотя бы некоторые из одиночных звезд главной последовательности вращаются дифференциально.