5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧАНДРАСЕКАРА - МИЛНА

Рассмотрим снова квазисферическую конфигурацию в еостоянйи медленного твердотельного вращения. Вместо интегрального представления (5) для гравитационного потенциала V запишем уравнение Пуассона

Тогда, при помощи уравнения (2), получаем

Напомним, что поверхности постоянных совпадают между собой, поэтому мы опять можем считать, что плотность зависит только от эффективного потенциала

Здесь удобно положить

где плотность в центре системы. Начиная с этого момента мы будем пользоваться сферическими координатами Если обозначить через радиус невозмущенной сферической конфигурации, то можно измерять в единицах Величины также измеряются в единицах и соответственно. В этих единицах уравнение (29)

принимает вид

имеем также

где константа это значение V на полюсах конфигурации.

Предположим далее, что вращение медленное, так что можно считать малым параметром возмущения. В этом предположении уравнение (31) будет решаться самогласованно в первом порядке по Будем искать решения в виде

где неизвестные пока постоянные, гравитационный потенциал и плотность соответствующей невозмущенной сферической конфигурации.

Соотношения между коэффициентами можно найти, считая функцией от Разлагая в ряд Тейлора в окрестности значения находим

где

прямо определяется невращаюшейся фигурой равновесия.

Подставляя затем соотношения (33) и (34) в уравнение (31) и пренебрегая всеми членами, порядок которых выше первого по получаем

где

При выводе этих уравнений мы воспользовались соотношениями (35) и (36) и уравнением для многочленов Лежандра. Уравнение (38) является

уравнением Пуассона для невозмущенной конфйгурации. Кроме того, поскольку при решения уравнений (39) должны быть регулярными и должны удовлетворять условиям

где штрих означает производную по

Подставляя в виде (33), можно написать решение для V в виде

где отдельно записаны слагаемые нулевого и первого порядков, входящие

Потенциал в окружающем пустом пространстве удовлетворяет уравнению Лапласа

Ясно, что решение уравнения (44), которое следует сшивать с решением

Нам остается определить различные постоянные, которые встречаются в этих решениях, потребовав, чтобы гравитационный потенциал и его градиент были непрерывны на поверхности вращающейся конфигурации. Ясно, что для применения этих условий нужно сначала определить границу. Пусть границей будет поверхность

Константы входящие в определение найдем, потребовав дополнительно, чтобы плотность на этой поверхности обращалась в нуль; в силу соотношений (34) — (36) это требование дает

Теперь граничные условия выглядят так:

Подставляя формулы (42) и (45), в конечном счете получаем

Здесь мы воспользовались формулами (38) и (47). Подробный анализ показывает, что все остальные коэффициенты обращаются в нуль. Тем самым формальное решение задачи завершено.

Окончательно мы можем написать

и аналогичные выражения для Итак, в первом порядке по параметру деформированные вращением тела можно описать при помощи двух функций Обе они должны быть регулярными решениями уравнений второго порядка

и удовлетворять условиям (41). Чтобы их вычислить, нужно, очевидно, заранее знать функцию т.е. изменение плотности и гравитационного потенциала в соответствующей невращающейся модели.

Изложенный выше метод широко применялся при изучении строения вращающихся политроп и холодных белых карликов, отклонение которых от сферичности не очень велико (см. разд. 10.3 и 13.2). Однако, как указал Смит, определение строения вращающейся модели с помощью разложения по параметру это сингулярная задача теории возмущений. Дело в том, что по мере приближения к поверхности вращающейся конфигурации главный член в разложении (34) стремится к нулю, поэтому второй член разложения оказывается немалым по сравнению с первым даже при самых малых значениях Другими словами, разложение (34) по малому параметру в интересующей нас области не всюду одинаково справедливо, или точнее, асимптотический ряд (34) сходится, но радиус сходимости стремится к нулю при Смит предложил другие методы, в которых используется сшивка асимптотических разложений или деформированные координаты. Оба эти метода выходят за рамки нашей книги.