16.2. СИНХРОННО ВРАЩАЮЩИЕСЯ МОДЕЛИ

Если пренебречь возмущениями, которые могут вызываться магнитными полями, то компоненты тесной двойной испытывают деформацию двух типов: помрное сжатие из-за вращения вокруг осей, проходящих через их центры масс, и приливы, которые один компонент вызывает на другом. Кроме того» поскольку оба этих эффекта приводят к отклонению от сферической симметрии, чтобы в лучистых зонах одновременно выполнялись условия механического и теплового равновесия, следует учитывать крупномасштабные меридиональные течения. Почти во всех исследованиях внутреннего строения вращающихся звезд, деформированных гравитационным полем близкого спутника, подразумевалось, что эти звезды всегда остаются

в механическом равновесии; меридиональной циркуляции не уделялось должного внимания. Приближение механического равновесия, безусловно, оправдано, если угловая скорость компонента двойной как по величине, так и по направлению равна угловой скорости обращения по орбите (т.е. если твердотельное вращение точно синхронизировано с круговым орбитальным движением и приливные горбы стационарны). Откладывая изучение некоторых нестационарных задач до разд. 16.3, рассмотрим прежде всего сильно идеализированные эллипсоиды Роша, уже на их примере можно увидеть интересные особенности проблемы двойных звезд. Затем мы займемся центрально конденсированными деформированными приливным взаимодействием моделями и завершим раздел кратким описанием так называемой модели Роша, которая во многих случаях служит простым и полезным представлением реальных тесных двойных.

Как мы видели в разд. 10.2, общие свойства вращающихся тел адекватно описываются при помощи сфероидов Маклорена. Поэтому сначала мы рассмотрим равновесие и устойчивость одного класса эллипсоидальных фигур, которые получаются, если помимо осевого вращения в первом приближении учитываются возмущения, вызываемые соседней массой. В самой простой задаче, впервые решенной Рошем в 1850 г., речь идет об однородном эллипсоиде («главный компонент»), который обращается вокруг твердой сферы («вторичный компонент») так, что их относительное расположение не меняется и в главном компоненте нет внутренних движений.

Пусть массы главного и вторичного компонентов равны соответственно расстояние между их центрами масс а угловая скорость обращения вокруг общего центра масс Выберем систему отсчета, начало которой находится в центре масс главного компонента; для удобства ось направлена к центру масс вторичного компонента, а ось параллельно вектору Тогда ось вращения двойной, которая, разумеется, проходит через центр масс системы, задается выражениями

Следовательно, центробежная сила, действующая на массу обладает потенциалом

В рассматриваемой задаче Роша вторичный компонент считается твердой сферой, поэтому внутри главного компонента потенциал, порождающий прилив, можно разложить в ряд

Приближение, на котором основана эта теория, состоит в отбрасывании всех генов, кроме выписанных здесь. В этом предположении можно считать, что помимо собственного тяготения на первичный компонент

действует полное силовое поле с потенциалом

где

Подставляя затем вместо его «кеплерово значение»

можно записать условия относительного равновесия первичного компонента в виде

где V — потенциал самогравитации первичного компонента.

Для однородного эллипсоида функция V квадратична по координатам [см. разд. 10.2, формулы (4) — (6)]; поэтому сразу же ясно, что такая конфигурация согласуется с уравнением (7), а также с условием постоянства давления на граничной поверхности. Чандрасекар получил подробные численные решения этой задачи для различных значений отношения

Как и следовало ожидать, при членом с в уравнении (7) можно пренебречь; при этом мы вновь приходим к конфигурациям Маклорена и Якоби, деформированным только вращением (см. разд. 10.2). Фигуры равновесия в диапазоне это эллипсоиды с такими полуосями, что точнее, для данного каждая последовательность начинается со сферы и кончается бесконечно длинным вытянутым сфероидом. На рис. 16.1 изображено, как меняется (в единицах вдоль различных последовательностей эллипсоидов Роша. Для иллюстрации в табл. 16.1 приведены решения уравнения (7) для случая кроме основных констант в этой таблице приведены полуоси эллипсоидов в единицах Очевидно, что вдоль каждой последовательности нормированные величины сначала растут, а затем, пройдя через максимум, убывают. При этом достигают максимума одновременно в некоторой точке на последовательности эллипсоидов Роша. Следовательно, если расстояние Меньше соответствующего максимальному значению то эллипсоидальные фигуры равновесия существовать не могут. Этот предел, определяющий наименьшее расстояние, при котором равновесие еще возможно, называют пределом Роша. В табл. 16.2 приведены точки на различных последовательностях Роша, в которых достигают максимума.

Считалось, что из-за отсутствия фигур равновесия за пределом Роша в точке, где достигает максимума, должна наступать та или иная неустойчивость. Недавно Чандрасекар пересмотрел этот вопрос. Он нашел, что в точке максимума эллипсоид Роша остается динамически устойчивым относительно возмущений второго порядка; скорее, динамическая

(см. скан)

Таблица 16.2 (см. скан) Предел Роша и константы критического эллипсоида

неустойчивость возникает немного дальше вдоль последовательности, где расстояние чуть превышает расстояние допустимого сближения (табл. 16.3). Однако, как показал впоследствии Роуб, между пределом Роша и точкой возникновения динамической неустойчивости в эллисоиде Роша наступает вековая неустойчивость по отношению к чисто вязкой моде, принадлежащей к гармоникам второго порядка. Такая ситуация отчасти напоминает случай сфероидов Маклорена, вековая неустойчивость которых наступает раньше, чем динамическая, возникающая дальше вдоль последовательности (см. разд. 10.2). Однако в данном случае возникновение в пределе Роша вековой неустойчивости не связывается с наличием точки бифуркации, поскольку на последовательности эллипсоидов Роша нет такой точки, в которой ответвлялась бы другая последовательность эллипсоидальных фигур.

Из отсутствия равновесных фигур за пределом Роша (как отмечалось выше, установленного лишь для случая круговых орбит) делался и такой вывод: если главный компонент, обращающийся, например, по эксцентрической орбите, зайдет за предел Роша, то он распадется на части. Как показал Ндука, чтобы описание движения главного компонента при переходе через предел Роша было согласованным, нужно допустить существование внутренних движений с однородной завихренностью, а также возможность изменения ориентации его эллипсоидальной фигуры. Согласно Ндуке, до тех пор пока орбита остается вне предельной окружности Роша, форма и

Таблица 16.3 (см. скан) Точки возникновения динамической неустойчивости на последовательности эллипсоидов Роша в единицах в единицах

ориентация главного компонента меняется лишь незначительно, если же орбита пересекает эту окружность, то отношение убывает и главный компонент начинает превращаться в дисковидную фигуру. Для случая пересечения предела Роша главным компонентом с учетом возмущений за счет гармоник третьего порядка и выше никаких результатов пока нет.

Рассмотрим теперь, какое влияние на собственные частоты тела, искаженного вращением и приливным взаимодействием, оказывает сжимаемость. Как показано в разд. 14.2, само вращение связывает две самые низкие зональные моды, которые в предельном случае гидростатического равновесия сводятся к основной радиальной моде и самой низкой осесимметричной -моде кроме того, в отсутствие приливного взаимодействия критический показатель адиабаты из-за вращения становится меньше своего «классического значения» (см. рис. 14.1). Чандрасекар применил тот же метод для исследования влияния сжимаемости на устойчивость эллипсоидов Роша. Конкретнее, рассматривается задача малых изоэнтропических колебаний, принадлежащих к гармоникам второго порядка. Предположение об однородности приводит к тому, что в состоянии равновесия конфигурации неотличимы от несжимаемых эллипсоидов Роша. Но из предположения, что они газовые, следует, что лагранжево смещение, описывающее деформацию, уже не может сохранять объем, поэтому мы должны пользоваться законами для газа, претерпевающего изоэнтропические изменения. На рис. 16.2 представлены основные результаты расчетов Чандрасекара. (Как обычно, критический показатель адиабаты, при котором кривая, обозначенная описывает так называемую последовательность Джинса, т.е. невращающиеся вытянутые сфероиды, отклонение которых от сферической симметрии вызвано одним лишь приливным воздействием вторичного компонента.) Итак, газовые конфигурации,

Рис. 16.2. (см. скан) Критические значения при которых в однородных, но сжимаемых эллипсоидах Роша возникает безразличное равновесие. За исключением кривой, обозначенной которая относится к сфероидам Джинса, около кривых указаны соответствующие значения

которые, как правило, устойчивы при могут оказаться динамически неустойчивыми из-за совместного влияния твердотельного вращения и приливного взаимодействия. Само по себе вращение оказывает стабилизирующее влияние на самые низкие зональные моды, следовательно, приливное взаимодействие дестабилизирует эти изоэнтропические движения. Правда, увеличение неустойчивости газовой конфигурации из-за близкого спутника установлено лишь для однородных эллипсоидов. Неустойчивость самых низких зональных мод из-за приливов вряд ли свойственна только этим эллипсоидам, однако еще нужны расчеты, чтобы показать, что поведение центрально конденсированных возмущенных приливами тел действительно похоже на поведение эллипсоидов Роша.

Обратимся теперь к вопросу о внутреннем строении центрально конденсированного синхронно вращающегося компонента тесной двойной. Для простоты рассмотрим сначала так называемую модель Роша, в которой почти вся масса каждого компонента сосредоточена в центральной точке, окруженной разреженной оболочкой пренебрежимо малой плотности. Эта модель двойной (впервые предложенная Рошем в 1873 г.) противоположна однородным эллипсоидам Роша. Важность ее заключается в том, что она помогает получить не только точное выражение для уровенных поверхностей двойной, компоненты которой считаются точечными массами, но и хорошее приближение для компонентов с высокой, хотя и конечной, степенью центральной конденсации.

Обозначим, как и выше, через массы двух компонентов, а через расстояние между ними. Предположим, что положения обеих масс определяются в декартовой системе, началом отсчета которой служит центр масс главного компонента, причем ось совпадает с прямой, соединяющей центры обеих масс, а ось перпендикулярна плоскости орбиты. В таком случае ось вращения определяется уравнениями (1), а полный потенциал суммы сил, действующих в произвольной точке задается выражением

где расстояния от точки до центров масс обоих компонентов соответственно. Первый член в правой части выражения (9) — потенциал, создаваемый массой второй — возмущающий потенциал спутника массы а третий — потенциал центробежной силы. Если предположить, что угловая скорость, которая входит в формулу (9), совпадает с кеплеровой угловой скоростью (6), то уровенные поверхности можно описать уравнением

где

а система единиц такова, что Но, как легко видеть из рассуждений в разд. 4.3, уровенные поверхности совпадают с изопикническими поверхностями, а также с изобарическими поверхностями. Поэтому уравнение (10) полностью описывает тесную двойную, в которой синхронно вращающиеся компоненты считаются точечными массами.

На рис. 16.3 изображено сечение уровенных поверхностей плоскостью орбиты для отношения масс В общем случае уровенные поверхности, соответствующие большим значениям параметра состоят из отдельных полостей, каждая из которых включает один из двух центров масс и мало отличается от сферы. С уменьшением полости, определенные уравнением (10), все сильнее вытягиваются в направлении центра масс

Рис. 16.3. Уровенные поверхности модели Роша в плоскости орбиты Критическая поверхность Роша изображена жирной линией.

системы и, наконец, при некотором критическом значении характерном для каждого отношения масс оба овала соприкасаются в одной точке на оси, соединяющей центры масс обоих компонентов, и образуют гантелевидную конфигурацию. Ниже мы будем называть ее критической поверхностью Роша, а две ее полости — критическими полостями Роша. При «ручка гантели» расширяется и оба тела окружены связной уровенной поверхностью, поэтому уже нельзя считать, что уравнение (10) описывает разделенную двойную звезду. Для любого уравнение (10) определяет два непересекающихся набора уровенных поверхностей, форма которых приближенно соответствует центрально конденсированным компонентам тесных двойных. Что касается устойчивости масс то каждая из них остается устойчивой до тех пор, пока занимаемый ею объем меньше объема ее критической полости Роша. Однако (см. разд. 16.4) если вследствие эволюционного расширения растет объем, скажем, главного компонента, то, как только он заполнит свою критическую полость Роша, возникнет неустойчивость и вещество начнет перетекать через внутреннюю точку Лагранжа (рис. 16.3).

Поскольку реальные звезды довольно сильно конденсированы к центру, модель Роша полезна при изучении эволюции тесных двойных. Чтобы проверить справедливость этого утверждения, рассматривалось совместное влияние вращения и приливного взаимодействия на внутреннее строение политроп и реалистических моделей звезд. Основные методы, которыми пользуются при изучении синхронно вращающихся компонентов тесных двойных, являются простыми обобщениями тех способов, которые применялись при построении моделей звезд, деформированных вращением (см. гл. 5). Все исследователи (в частности, Джексон, Киппенхан и Томас, а

также Нейлор и Ананд) обнаружили, что приливные силы почти не влияют на светимость компонента двойной системы, а средний радиус увеличивают в несколько раз менее эффективно, чем при твердотельном вращении. Кроме того, поскольку вращение считается синхронным, компонент двойной не может вращаться так же быстро, как одиночная звезда. Поэтому понижение светимости двойной звезды, которое происходит почти исключительно за счет вращения, будет меньше, чем одиночной. Как впервые указал Джембовски, по-видимому, вследствие этого синхронно вращающийся компонент тесной двойной можно рассматривать как сферически симметричную звезду, даже если в ходе эволюции она заполнит критическую полость Роша. Поскольку малые отклонения от сферической симметрии за счет осевого вращения и приливного взаимодействия не играют решающей роли в эволюции двойной звезды (по крайней мере для синхронно вращающихся моделей), эти вопросы выходят из рамки нашей книги.

Некоторые авторы (в частности, Плавец, Крушевски и Лимбер) рассмотрели задачу о несинхронных тесных двойных, явно допуская, что гравитационный потенциал каждой звезды такой же, как и у точечной массы, т.е. в модели Роша. Позднее Нейлор построил модели твердотельно вращающихся несинхронных двойных политроп и сравнил свои результаты с результатами Лимбера, полученными при помощи модели Роша. Он обнаружил, что модель Роша дает правильное представление об относительных размерах несинхронных систем; однако нельзя, по-видимому, пренебречь влиянием степени центральной конденсации на минимальное разделение компонентов. Иными словами, если осевое вращение несинхронно с орбитальным движением, то модель Роша можно применять только в том случае, когда мы интересуемся относительными размерами; если же нужно отдельно определить радиусы и разделение, то следует учитывать влияние конечной степени центральной конденсации в реальных звездах.