13.2. МОДЕЛИ В СОСТОЯНИИ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ

Из формул (4) и (5) очевидно, что холодные полностью вырожденные белые карлики очень напоминают политропные конфигурации с показателями от (в пределе до (в пределе Исходя из результатов разд. 10.3, можно считать, что последовательности твердотельно вращающихся белых карликов (с фиксированной массой и растущим

моментом количества движения) должны обязательно обрываться на моделях, у которых эффективная сила тяжести на экваторе падает до нуля, и что точек бифуркации (т.е. точек, в которых ответвляются неосесимметричные фигуры равновесия) на этих последовательностях быть не может. Другими словами, поскольку уравнения (1) — (3) очень похожи на уравнение политропы а центрально конденсированные политропы не могут накопить большой момент количества движения, ограничиваясь твердотельным вращением, нельзя построить модели белых карликов с отношением выше нескольких процентов. (Как обычно, соответственно кинетическая энергия вращения и потенциальная гравитационная энергия.) Отсюда в свою очередь следует, что твердотельное вращение должно мало сказываться на чандрасекаровском пределе даже для самых быстро вращающихся звезд при их предельных скоростях. Из нижеследующих рассуждений станет ясно, что все обстоит именно так. Затем мы рассмотрим дифференциально вращающиеся модели с заданным распределением момента количества движения и увидим, что они обладают совсем иными свойствами.

Твердотельно вращающиеся модели

Многие авторы рассчитывали влияние твердотельного вращения на глобальное строение белых карликов, подчиняющихся классическому уравнению состояния (1) с и ньютоновскому условию механического равновесия. Джеймс представил подробные численные расчеты, выполненные на основе метода, аналогичного тому, который используется в теории твердотельно вращающихся политроп (см. разд. 10.3). Внутреннее строение белых карликов определялось и при помощи различных методов разложения по квадрату угловой скорости Самое подробное аналитическое исследование принадлежит Ананду и Дюба, которые рассмотрели разложения второго порядка, включающие все члены порядка вплоть до Во всех этих работах найдено, что твердотельное вращение незначительно меняет глобальное строение белых карликов, поскольку полные момены количества движения, соответствующие равновесным моделям с этим специальным законом вращения, строго ограничены условием, что центробежная сила на экваторе меньше силы тяготения. В результате твердотельно вращающиеся белые карлики не сильно отклоняются от сферической симметрии, а чандрасекаровский предел увеличивается всего на 3%. Так, например, сохраняя все члены порядка до Ананд нашел, что неравенство (6) следует заменить на

в том крайнем случае, когда белый карлик вращается с максимальной скоростью, совместимой с условиями равновесия и постоянства угловой скорости. (В первом порядке по Роксбург сначала установил предел

Пунктирная кривая в нижнем левом углу рис. 13.6 ограничивает небольшой диапазон масс и моментов количества движения, для которых можно построить модели твердотельно вращающихся белых карликов. удовлетворяющих уравнениям (1) — (3).

Затем Острайкер и Хартвик построили модели твердотельно вращающихся белых карликов с магнитными полями, исчезающими на поверхности. Пользуясь описанным в разд. 5.5 методом самосогласованного поля, они установили, что если внутренние магнитные поля обладают как полоидальным, так и тороидальным компонентами, то радиусы белых карликов могут значительно вырасти, причем их внешние области останутся почти сферическими. Точнее, для звезды массой относительное приращение радиуса ведет себя как где полная магнитная энергия конфигурации. (Для самой крайней из рассмотренных моделей с напряженность магнитного поля в центре достигает но полоидальные компоненты вблизи поверхности всегда остаются на несколько порядков величины меньше этого значения.) Согласно впервые высказанному Местелом предположению, сильными внутренними магнитными полями могут объясняться наблюдения, судя по которым фотометрические радиусы Сириуса В, 40 Эридана В и некоторых других белых карликов оказываются несколько больше теоретических радиусов, предсказанных классическим соотношением масса — радиус при нулевой температуре (Как указали Острайкер и Хартвик, это расхождение нельзя объяснить одним вращением, поскольку для рассматриваемых здесь относительно маломассивных звезд при скоростях вращения, требуемых для заметного изменения радиусов, спектральные линии имели бы более широкие ядра, чем наблюдается.) Вопрос об устойчивости моделей белых карликов с сильными магнитными полями пока не решен. Тем не менее, поскольку устойчивость магнитной конфигурации обычно зависит от отношения а не от средней напряженности магнитного поля (см. разд.

15.2), модели Острайкера — Хартвика с вполне могут оказаться устойчивыми. Без подробного исследования их нормальных мод колебаний нельзя прийти к определенному выводу.

Приведенные результаты относятся только к моделям, которые подчиняются классическому уравнению состояния (1) и ньютоновскому условию механического равновесия. Однако при больших плотностях вследствие обратных -распадов и поправок на эффекты общей теории относительности максимальная масса сферической модели белого карлика уменьшается. Например, в случае ньютоновских моделей, удовлетворяющих уравнению

состояния Хамады — Солпитера, максимальная масса меняется от для углеродного белого карлика до для железного белого карлика. В случае моделей, учитывающих эффекты общей теории относительности и удовлетворяющих уравнениям (1) — (3) с максимальная масса оказывается равной примерно (тогда как ньютоновский предел равен Влияние твердотельного вращения на эти предельные массы впервые рассмотрели Хартл и Торн. На рис. 13.1 показано, как влияет твердотельное вращение на массы и средние радиусы релятивистских конфигураций, удовлетворяющих уравнению состояния Харрисона — Уилера. Мы видим, что максимальная масса моделей белых карликов на пределе вращения увеличивается вследствие твердотельного вращения примерно на 20%. (Хотя нейтронные звезды выходят за рамки этой книги, отметим,

Рис. 13.1. Влияние твердотельного вращения на массы и средние радиусы белых карликов и нейтронных звезд, подчиняющихся уравнению состояния Харрисона Уилера. Жирная линия зависимость массы от радиуса, параметризованная по логарифму плотности в центре для невращающихся моделей. Тонкая линия — приближенная зависимость массы от радиуса для конфигураций, вращающихся с постоянной угловой скоростью Это приближенное значение угловой скорости, при которой начинается экваториальное истечение. Стрелки указывают, куда смещаются модели при той же плотности в центре с ростом угловой скорости. 1968. С разрешения

что на их внутреннем строении твердотельное вращение сказывается мало!) Аналогичные результаты получили Арутюнян, Папоян, Седракян и Чубарян для релятивистских моделей белых карликов, удовлетворяющих уравнению состояния Саакяна — Чубаряна, в котором приближенно учитывается влияние обратного -распада. Рис. 13.2 позволяет сразу же оценить относительную важность эффектов общей теории относительности, обратного -распада и твердотельного вращения. Ясно, что твердотельное вращение слегка модифицирует соотношение между массой и радиусом; единственное различие состоит в том, что твердотельно вращающаяся конфигурация имеет большую массу при той же плотности в центре это различие достигает всего Итак, что касается глобального строения белых карликов, задание ad hoc твердотельного

Рис. 13.2. (см. скан) Влияние твердотельного вращения на массы и средние радиусы моделей белых карликов, подчиняющихся уравнению состояния Саакяна — Чубаряна. Кривые I и 3 относятся к сферическим моделям с учетом и без учета обратного -распада соответственно, кривые 2 и 4 — к твердотельно вращающимся с предельными скоростями моделям с учетом обратного -распада и без него соответственно. Цифры вдоль кривых 1 и 4 — значения логарифма плотности в центре Стрелками соединены конфигурации с одинаковой плотностью в центре. (Арутюнян ., Седракян Д. М., Чубарян Э. В. Астрофизика, 7, 467, 1971.)

вращения приводит лишь к незначительным поправкам, особенно по сравнению с изменениями, которые вносит в модели обратный -распад.

Рассмотрим теперь устойчивость моделей твердотельно вращающихся белых карликов, подвергшихся бесконечно малым возмущениям. Поскольку твердотельно вращающиеся белые карлики мало отклоняются от сферической симметрии, основную моду пульсаций этих звезд можно получить, соответственно изменяя самую низкую радиальную моду сферических звезд [см. разд. 6.4, уравнение (41)]. В самом деле, как мы увидим в разд. 14.2, самая низкая квазирадиальная частотд белого карлика с хорошей точностью описывается формулой

где положительные постоянные порядка единицы. Как обычно, момент инерции относительного центра масс, с — скорость света, а средневзвешенное по давлению значение показателя адиабаты Для большинства невырожденных звезд главную роль играет первый член в квадратных скобках; второй член отражает стабилизирующее влияние вращения на пульсации, а третий — дестабилизирующий эффект общей теории относительности. В данном случае, поскольку для релятивистских белых карликов с высокой плотностью близко к 4/3, обычно небольшие «поправочные» члены вблизи предельной массы могут оказаться важными.

Несколько авторов представили подробные численные результаты. В табл. 13.1 (по Гриббину) мы приводим приближенные значения квазирадиального периода для релятивистских моделей, вращающихся с предельными скоростями и удовлетворяющих уравнению состояния Хамады — Солпитера. Равновесные модели содержат при а также более тяжелые и богатые нейтронами ядра при более высоких плотностях: для самых высоких рассматриваемых плотностей Эти модели получены из уравнения, в котором одновременно учтены релятивистское уравнение внутреннего строения для соответствующих невращающихся моделей и ньютоновские эффекты твердотельного вращения. (Как показали Дэрни и Роксбург, хотя эта процедура не совсем корректна, использование ньютоновских эффектов вращения все же оправдано в приближении слабого магнитного поля и медленного вращения.) Для полноты в табл. 13.1 указаны также средний радиус масса отношение плотность в центре) и квадрат угловой скорости Числа в скобках — периоды пульсаций основных мод соответствующих сферических моделей с теми же плотностями в центре. (Буква указывает на неустойчивость модели.) Из этих линейных расчетов

Таблица 13.1 (см. скан) Периоды пульсаций для моделей полностью вращающихся белых карликов, удовлетворяющих уравнению Хамады — Солпитера

вытекают два главных результата. Во-первых, для маломассивных сферических моделей наименьшие периоды радиальных пульсаций уменьшаются примерно от 20 с при до 2 с при (не приведены в табл. 13.1). Затем периоды достигают минимума (в типичном случае порядка 1,8 с) и стремятся к бесконечности для моделей с высокой плотностью. Заметим, что динамическая неустойчивость наступает, когда радиус звезды еще на два порядка величины больше радиуса Шварцшильда Во-вторых, поскольку второй член в формуле (8) при больших плотностях пропорционален (а третий в твердотельно вращающихся моделях с высокой плотностью вращение играет более важную роль, чем эффекты общей теории относительности. Из табл. 13.1 непосредственно следует стабилизирующее влияние твердотельного вращения.

Дифференциально вращающиеся модели

Согласно теореме Пуанкаре — Вавра, баротропная конфигурация в состоянии стационарного вращения должна непременно удовлетворять условию где расстояние от оси вращения (см. разд. 4.3). Частный случай мы уже рассмотрели выше и убедились, что твердотельное вращение не вызывает существенных изменений в глобальном

строении вырожденного белого карлика. Как мы теперь увидим, совершенно иная картина получится для вращающихся белых карликов, если задавать распределение момента количества движения где т-—доля массы внутри цилиндра радиуса Впервые эту задачу рассматривали Хойл и Роксбург; они указали, что для масс, сколь угодно превосходящих чандрасекаровский предел, могут существовать дисковидные равновесные конфигурации. В самом деле, поскольку при сжатии без потери момента количества движения отношение растет как можно построить модели белых карликов произвольной массы для любого (ненулевого) момента количества движения — всегда найдется достаточно малый радиус звезды, при котором электронное давление и центробежная сила уравновесят силу тяготения. Разумеется, результирующие конфигурации с необходимостью будут находиться в состоянии дифференциального вращения, причем во внешних слоях быстро вращающихся моделей угловая скорости будет приближенно определяться третьим законом Кеплера

Острайкер, Боденхеймер и Линден-Белл построили подробные модели массивных белых карликов с быстрым дифференциальным вращением.

Как было показано в разд. 4.2 и 4.3, рассматривая идеализированные конфигурации в состоянии стационарного вращения, мы вправе выбирать любое распределение момента количества движения вида лишь бы оно удовлетворяло критерию Хейланда (см. разд. 7.3). Следуя Острайкеру и Боденхеймеру, мы задаем распределение момента количества движения, аналогичное распределению для твердотельно вращающейся политропы с показателем [см. разд. 10.4 уравнение (44)]. Расчеты, выполненные для других распределений показывают, что главные выводы, о которых пойдет речь, почти не зависят от фактически взятого распределения, пока оно остается в разумных пределах. Модели строились при помощи метода самосогласованного поля (см. разд. 5.5), причем все они подчиняются уравнениям (1) — (3) и ньютоновскому условию механического равновесия. В табл. 13.2 приведены основные физические характеристики шести отобранных конфигураций. В нее включены невращающаяся модель и пять моделей с возрастающей массой и с равным для каждой массы полному моменту количества движения твердотельно вращающейся звезды такой же массы на главной последовательности. На рис. 13.3 и 13.4 показано подробное строение моделей 3 и 6 соответственно. В 14 строках табл. 13.2 выписаны соответственно масса полный момент количества движения экваториальный радиус кинетическая энергия вращения К, внутренняя энергия потенциальная гравитационная энергия плотность в центре отношение экваториального радиуса к полярному скорость вращения на экваторе отношение угловых скоростей на экваторе и в центре, гравитационное красное смещение на по-люеах поверхностная сила тяжести на экваторе и на полюсах и отношение гирорадиуса к экваториальному радиусу. (Если это специально не оговорено, все величины приводятся в системе СГС.) Поскольку эти холодные полностью вырожденные конфигурации

(кликните для просмотра скана)

Таблица 13.2 (см. скан) Свойства дифференциально вращающихся белых карликов

устойчивы относительно обратного -распада. По той же причине принятое уравнение состояния должно давать хорошее приближение (если химический состав в основном определяется а неучтенные эффекты общей теории относительности не будут существенно сказываться на моделях. В разд. 13.3 мы рассмотрим ограничения, которые накладываются на модели массивных белых карликов в состоянии стационарного вращения из-за вязкого трения и меридиональной циркуляции.

Острайкер и Боденхеймер перечислили основные свойства этих идеализированных конфигураций. Во-первых, во всех случаях это значит, что модели в целом поддерживаются в основном давлением, а не центробежной силой. Во-вторых, энергия связи всегда велика и отрицательна, во всех моделях -третьих, дифференциальное вращение ни в одной модели не является очень сильным. Это следует из того, что для всех представленных конфигураций -четвертых, для моделей с гравитационное красное смещение становится довольно нечувствительным к массе. -пятых, экваториальные скорости моделей заключены в диапазоне а радиусы — между см. Таким образом, экваториальные радиусы быстро вращающихся моделей лежат в том же диапазоне, что и радиусы невращающихся белых карликов с -шестых, сравнение

рис. 13.3 и 13.4 показывает, что обе конфигурации имеют довольно сферические твердотельно вращающиеся плотные центральные области; однако внешние области модели 6 (у которой больше) значительно протяженнее и сильнее сплюснуты, чем у модели -седьмых, уменьшение скорости вращения с ростом радиуса во внешних областях модели 6 указывает на то, что влияние давления там настолько мало, что вещество в сущности движется по кеплеровым орбитам, причем сила тяготения в направлении, перпендикулярном оси вращения, уравновешивается в основном центробежной силой, а не градиентом давления.

Сравнивая рис. 13.3 и 13.4 с рис. 10.15, легко заметить разительное сходство дифференциально вращающихся полйтроп и моделей массивных белых карликов при почти одинаковых значениях отношения Следовательно, поскольку политропы, которые сильно отклоняются от сферической симметрии, могут стать неустойчивыми по отношению к неосесимметричным возмущениям, нужно внимательно исследовать модели Острайкера — Боденхеймера на устойчивость. В разд. 6.7 подробно описан общий метод определения приближенных значений для самых низких частот колебаний; этот метод применялся в разд. 10.4 при исследовании устойчивости дифференциально вращающихся политроп. Вириальные уравнения второго порядка описывают моды, скорее всего определяющие устойчивость конфигураций в дифференциальном вращении, а именно: самые низкие зональные моды самые низкие моды и самые низкие секториальные моды дельном случае отсутствия вращения эти моды сводятся к пяти -модам, принадлежащим к сферическим гармоникам самой низкой -моде и одной тривиальной моде. На рис. 13.5 показаны семь соответствующих частот вдоль последовательности дифференциально вращающихся моделей белых карликов массой с таким же распределением момента количества движения, как у твердотельно вращающегося однородного сфероида [см. разд. уравнение (44)]. В табл. 13.3 приведены периоды колебаний моделей На рис. 13.6 собраны результаты расчетов для различных последовательностей.

Как и ожидалось, неустойчивости по отношению к осесимметричным модам не возникает. Дело в том, что для всех моделей Если бы мы учли обратный -распад и эффекты общей теории относительности, то обнаружили бы, что по крайней мере для малых значений отношения такая неустойчивость действительно может возникать (см. табл. 13.1). Однако особое внимание следует обратить на секториальные моды, так как они преобразуют осесимметричную конфигурацию в тело с трехосной симметрией. (Стоит сравнить рис. 13.5 с рис. Так же как в случае сфероидов Маклорена и дифференциально вращающихся политроп, при появляется нейтральная мода (т.е. откуда следует существование за этим пределом массивных трехосных белых карликов. Точнее говоря, значение определяет приблизительный верхний предел вековой устойчивости относительно реакции гравитационного излучения (ср. с разд. 10.4). Двигаясь вдоль

Рис. 13.5. (см. скан) Частоты колебаний вдоль последовательности дифференциально вращающихся белых карликов Распределение момента количества движения такое же, как и у твердотельно вращающегося однородного сфероида. даны, соответственно в единицах Секториальные, тессеральные и зональные моды представлены соответственно сплошными, штриховыми и пунктирными линиями. Верхняя пунктирная кривая представляет зональную моду. Для отождествления остальных кривых см. табл. 13.3. Обратите внимание, что частота «радиальной» моды (нижняя пунктирная кривая) увеличивается с ростом при данной плотности период пульсаций убывает вследствие вращения. Обратите внимание и на нейтральную моду при и на возникновение динамической неустойчивости при

последовательности осесимметричных конфигураций, мы также замечаем, что за пределом модели становятся динамически неустойчивыми с характерным временем роста неустойчивости порядка нескольких секунд (рис. 13.5). Расчеты для других последовательностей показывают, что в пределах точности вычислений нейтральная мода и динамическая неустойчивость всегда возникают соответственно при и 0,26, почти независимо от полной массы и распределения момента количества движения. На рис. 13.6 эти пределы показаны на плоскости Исходя из разумного допущения, что предел определяет также наступление вековой неустойчивости, мы замечаем, что верхние пределы масс, за которыми возникают вековая и динамическая неустойчивости моделей,

Рис. 13.6. Пределы устойчивости на плоскости Распределение момента количества движения такое же, как у твердотельно вращающегося однородного сфероида. Для кривые взяты из работы Острайкера и Тассуля (1969). Около штриховых кривых, соответствующих постоянному характерному времени вековой неустойчивости из-за реакции гравитационного излучения, указаны годах). Пунктирная кривая ограничивает область, в которой, согласно Джеймсу (1964), заключены модели твердотельно вращающихся белых карликов. Углерод загорается в центрах углерод-кислородных моделей под штрихпунктирной линией. Жирная линия — предел динамической устойчивости, тонкая линия предел вековой устойчивости.

оказываются равными соответственно 2,5 и Как показал Дюризен, при вековая неустойчивость возникает главным образом из-за реакции гравитационного излучения (см. разд. 10.2) и ее характерные времена в этом диапазоне масс равны по порядку величины от 103 до 101 лет.

Итак, модели дифференциально вращающихся белых карликов с вековой и динамической устойчивостью к неосесимметричным возмущениям можно строить лишь в определенном диапазоне масс и полных моментов количества движения. Отметим, что на рис. 13.6 изображена также кривая, ниже которой модели с плотностями в центре, превосходящими могут становиться неустойчивыми относительно детонации или имплозии. Несмотря на эти строгие ограничения на плоскости быстро вращающийся массивный белый карлик можно считать одной из возможных конечных стадий эволюции звезды массой больше В частности, чтобы массивная звезда стала белым карликом, потеря массы уже не

(см. скан)

обязательна. Тем не менее, поскольку ожидаемый диапазон экваториальных скоростей вращения составляет а ядра линий в спектрах многих наблюдаемых белых карликов относительно узки, возможно, что быстро вращающийся массивный белый карлик — это исключительное явление природы. Кандидатами можно считать белые карлики класса которых спектры лишены линий. Чтобы проверить это предположение, Милтон рассчитал спектры излучения моделей богатых водородом дифференциально вращающихся белых карликов. Один важный вывод из этой работы состоит в том, что можно построить модели, белых карликов, у которых нет заметных линий. Однако, поскольку показатели цвета многих моделей со спектрами без линий значительно более отрицательны, чем у любых известных белых карликов класса маловероятно, что с помощью этих моделей можно объяснить весь этот класс в целом.