14.4. ПУЛЬСАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Вопросы динамической устойчивости вращающихся звезд уже описаны в разд. 6.1. Как известно, для исследования динамической устойчивости достаточно рассматривать малые изоэнтропические возмущения, т.е. движения, при которых энтропия каждого элемента массы на всем его пути сохраняется. При этом в самом общем случае лагранжевы вариации давления и плотности связаны соотношением

где первый обобщенный показатель адиабаты (см. разд. 3.4). Хотя в большинстве случаев соотношение (38) представляет собой достаточно разумное предположение, в некоторых ситуациях существенную роль может играть отклонение от изоэнтропичности, (например, в звездах верхней части главной последовательности, в которых лучистое давление преобладает над газовым). Насколько нам известно, вопрос пульсационной устойчивости вращающихся звезд, по крайней мере в связи с их глобальным внутренним строением, еще не изучался. (В разд. 7.4 рассматривалось отклонение от изоэнтропичности в задаче о нарушении теплового равновесия в бароклинах, однако там учитывались лишь локальные возмущения.) Следуя Айзенману и Коксу, мы сначала приведем формальное решение задачи о пульсационной устойчивости для звезд в состоянии стационарного вращения (см. разд. 4.2). В конце раздела мы скажем несколько слов о максимальной массе, в случае превышения которой в звездах главной последовательности может возникать пульсационная неустойчивость по отношению к осесимметричным пульсациям.

В разд. 6.6 был изложен вариационный принцип, с помощью которого определяется динамическая устойчивость бароклины относительно осесимметричных движений, удовлетворяющих уравнению (38). Если учитывается отклонение от изоэнтропичности, то это уравнение более неприменимо и следует пользоваться полным уравнением энергии [см. разд. 3.4, уравнение (63)]. Пренебрегая вязкой диссипацией и теплопередачей, перепишем это уравнение в удобном виде

где, не опасаясь недоразумений, мы пишем вместо Поскольку операторы в линейном приближении коммутируют, отсюда следует

[см. разд. 6.2, уравнение (12)]. Вообще говоря, это уравнение верно, если предположить, что в невозмущенном состоянии всюду соблюдается

тепловое равновесие; таким образом, мы совершенно не учитываем возможное влияние меридиональных течений (см. разд. 8.1). Далее в цилиндрических координатах имеем

если оператор применяется к скалярной величине. Для осесимметричных возмущений уравнение (40) сводится поэтому к

на которое заменяется теперь уравнение (38).

Применяя метод, использованный в разд. 6.6, переопределим лагранжево смещение как двумерный вектор с компонентами и затем, подставляя уравнения (74) — (77) из разд. 6.6 в уравнение (42), в конечном счете получим

где значение линейного оператора то же, что в разд. 6.6. Как обычно, мы предполагаем, что зависимость двумерного вектора от времени имеет вид

Умножая уравнение (43) на и интегрируя по всему объему вращающейся звезды, мы можем написать

Если проинтегрировать третий интеграл по частям и воспользоваться условиями на внешней поверхности У, то из уравнений (38) и (45) получаем кубическое уравнение

где

Как и следовало ожидать, если пренебречь возможными отклонениями от изоэнтропичности (т.е. то из уравнения (46) легко выводится необходимое для динамической устойчивости условие Фьертофта — Лебовица, т.е. в наших обозначениях (см. разд. 6.6 и 6.8).

В принципе, чтобы уравнение (46) давало точные собственные значения задачи, коэффициенты нужно вычислять, подставляя точные собственные функции Поскольку найти эти (комплексные) величины не так просто, мы ограничимся системами, которые мало отклоняются от изоэнтропичности, т.е. вращающимися звездами, в которых выполняется условие В этом предположении вклад свободного члена в уравнении (46) мал; это означает, что теперь можно получить частоты просто подставляя в коэффициент (действительные) собственные функции соответствующей изоэнтропической задачи, тогда коэффициент равен (действительному) квадрату частоты, связанной с функцией В указанном приближении два решения уравнения (46) можно записать в виде

а третий (действительный) корень интереса для задачи о пульсациях не представляет. В том же предположении двумерный вектор приобретает вид

С учетом этих приближенных результатов очевидно, что квазиизоэнтропические пульсации с малой амплитудой, как правило, являются колебаниями с периодами но их амплитуды либо растут, либо медленно затухают со временем. Точнее говоря, при колебания устойчивы, при их амплитуды растут. Поэтому величину обычно называют коэффициентом пульсационной устойчивости.

Решение, даваемое выражениями (49) и (50), на удивление просто и сильно напоминает формальное решение, полученное в 1919 г. Эддингтоном для случая сферических звезд. Однако теперь выражение (48) следует вычислять, интегрируя по полному объему вращающейся звезды и пользуясь двумерным смещением или, если оно не известно, заменяя его приближенными пробными функциями (ср. с разд. 6.6). Физический смысл коэффициента можно установить следующим образом. Для обычных термоядерных реакций пренебрегая любыми возможными задержками по фазе вследствие изменений химического состава, можно связать лагранжеву вариацию с вектором соотношением

Поскольку величина Депис всегда имеет тот же знак, что и она стремится сделать отрицательным, способствуя тем самым пульсационной неустойчивости звезды. Ясно, что этот механизм термоядерного возбуждения становится особенно эффективным, если амплитуда пульсаций в центре относительно велика (например, если под действием лучистого давления снижается до значения, близкого к 4/3). Часть интеграла устойчивости (48), которая определяется переносом энергии, может как стабилизировать, так и возбуждать пульсации вращающейся звезды. В последнем случае

дестабилизирующее влияние обусловлено модуляцией потока посредством «клапанных» механизмов, связанных с зонами ионизации элементов с высоким содержанием (таких, как водород и гелий) во внешних слоях звезды. Эти механизмы ионизации в оболочке привлекались в основном для объяснения переменности обычных типов пульсирующих звезд. Поскольку такие звезды вращаются, по-видимому, необычайно медленно, «клапанные» механизмы выходят за рамки этой книги.

Подробные расчеты пульсационной устойчивости невращающихся звезд главной последовательности с нормальным для населения I хцмическим составом впервые провел Леду в 1941 г. Как известно, преобладание лучистого давления над газовым в звездах верхней части главной последовательности приводит к тому, что масса химически однородной звезды, обладающей пульсационной устойчивостью, оказывается ограниченной сверху. Наличие теоретического предела массы для сферических звезд главной последовательности следует из того, что с приближением к 4/3 самая низкая радиальная мода становится почти гомологичной (т.е. в сферических координатах); поэтому амплитуда пульсаций этой моды в центре велика, а это позволяет механизму термоядерного возбуждения в ядре преодолеть гасящие эффекты переноса энергии в оболочке. Основанный на более реалистических моделях, линейный анализ устойчивости дает верхний предел масс для свойственного населению I химического состава в диапазоне До недавнего времени считалось, что пульсационная неустойчивость приводит к столь сильному нарастанию амплитуд пульсаций, что становится неизбежной потеря массы и что масса пульсационно неустойчивой звезды главной последовательности в конечном счете становится меньше верхнего предела масс. К сожалению, подробные нелинейные расчеты не подтвердили это раннее предположение. Рассматривая движения с конечной амплитудой, многие авторы обнаружили, что радиальные пульсации сферических звезд с достигают предельной амплитуды и оказывают куда менее разрушительное воздействие на звезды, чем предсказанное линейным анализом. Иными словами, сферические модели в диапазоне масс вполне способны пережить пульсационную неустойчивость термоядерной природы без значительной потери массы. Поэтому механизм Леду может оказаться неэффективным для ограничения масс звезд верхней части главной последовательности. Кроме того, поскольку под поверхностью этих звезд может накапливаться большой момент количества движения, еще нужно выяснить, способно ли вращение сильно увеличить верхний предел масс по сравнению с пределом, найденным для невращающихся моделей.

Упомянем в связи с этими проблемами, что Ларсон и Старфилд, основываясь на теориях образования звезд с пренебрежимым моментом количества движения, выдвинули доводы в пользу того, что звезды с массами, превышающими по-видимому, не могут сконденсироваться из современной межзвездной среды. При установлении этого предела могут играть роль несколько факторов, точный вклад которых зависит от начальных условий. Во-первых, время, необходимое для образования звезды

путем аккреции в центре коллапсирующего протозвездного облака, становится больше, чем эволюционное время жизни на главной последовательности для зависимости от условий, преобладающих в облаке. Во-вторых, лучистое давление, действующее на внешние части протозвездного облака, может оказаться достаточным, чтобы остановить коллапс, когда масса нарастает примерно до -третьих, самое сильное ограничение на массу звезды главной последовательности возникает при образовании области в коллапсирующей протозвездной оболочке, которая окружает рождающуюся звезду; это происходит при массе порядка в зависимости от начальных условий. Однако у звезд, которые не содержат или содержат мало тяжелых элементов, масса может быть гораздо больше. Согласно Конти и Бюрнишону, с учетом многочисленных неточностей в используемых параметрах эти аргументы не противоречат существованию обнаруженных ими звезд вблизи главной последовательности нулевого возраста с массами в диапазоне

Что касается влияния вращения на критическую массу Леду, то ничего определенного почти не известно. Предварительные расчеты Стотерса указывают, по-видимому, на то, что теоретический предел масс для быстро вращающихся звезд главной последовательности может быть намного выше, чем для сферических звезд. (Заметим, что этот результат получен не из прямого расчета коэффициента устойчивости Если этот вывод верен, то доводы Ларсона — Старфилда подтверждаются. Как указал Стотерс, быстрое вращение может — и даже в решающей степени — поддерживать предложенные ими механизмы. В частности, приблизительное сохранение момента количества движения в ходе сжатия исходного газового облака могло бы воспрепятствовать образованию очень массивных отдельных звезд, если и в самом деле действует механизм деления (см. разд. 11.3). Однако наших знаний о ранних стадиях звездной эволюции недостаточно, чтобы надежно предсказать верхний предел масс у звезд до главной последовательности.