4.3. БАРОТРОПЫ, ПСЕВДОБАРОТРОПЫ И БАРОКЛИНЫ

Из уравнений (9) и (10) можно вывести много полезных свойств. С этой целью прежде всего определим эффективную силу тяжести как силу тяготения (на единицу массы) с поправкой на центробежное ускорение. Таким образом, в цилиндрических координатах имеем

Следовательно, уравнения (9) и (10) можно переписать так:

Легко сделать первый вывод:

Если звезда находится в состоянии стационарного вращения, то эффективная сила тяжести всюду ортогональна к изобарическим поверхностям.

Этим свойством обладают как баротропные, так и бароклинные звезды.

Теорема Пуанкаре — Вавра

Предположим теперь, что звезда вращается как твердое тело. Тогда формулы (15) и (16) приобретают вид

где с точностью до постоянного слагаемого

Рассмотрим теперь дифференциально вращающуюся звезду. При каких условиях эффективная сила тяжести тоже потенциальна? В силу формулы (16) это возможно тогда и только тогда, когда не зависит от т.е. когда угловая скорость постоянна на цилиндрических поверхностях, ось которых совпадает с осью вращения. Вместо формулы (19) получаем

Из существования такого потенциала можно вывести ряд интересных следствий.

Прежде всего в силу соотношения (17) всегда можно написать

С помощью формул (18) и (20) находим

По определению для любого смещения на уровенной поверхности имеем Поскольку из соотношения (22) следует, что на этой поверхности изобарические поверхности совпадают с уровенными поверхностями. Следовательно,

Таким образом, на уровенной поверхности плотность также не меняется. Итак, поверхности, на которых и остаются постоянными,

совпадают. Вследствие этого если потенциал существует, то вектор нормален к изопикническим поверхностям.

Рассмотрим теперь звезду, у которой совпадают изобарические и изоцикнические поверхности. Если положить

то формула (21) приводится к виду

Величина является точным полным дифференциалом; следовательно, должно выполняться соотношение (18) и обладает потенциалом.

Предположим, наконец, что эффективная сила тяжести всюду нормальна к изопикническим поверхностям. Из формулы (21) следует, что на такой поверхности давление постоянно. Тем самым установлено совпадение изобарических и изопикнических поверхностей.

Если теперь собрать все воедино, то легко убедиться, что доказана следующая теорема:

Для звезды в состоянии стационарного вращения из любого следующего утверждения вытекают три остальных: I) угловая скорость постоянна на цилиндрах, ось которых совпадает с осью вращения, 2) эффективная сила тяжести обладает потенциалом, 3) эффективная сила тяжести нормальна к изопикническим поверхностям, 4) изобарические и изопикнические поверхности совпадают.

Эти важные результаты впервые доказали Пуанкаре и Вавр.

Невнимательный читатель мог бы прийти к выводу, что эти четыре эквивалентных утверждения относятся исключительно к баротропам и никак не связаны с бароклинными звездами. Это не совсем верно. Для доказательства снова рассмотрим систему, в которой зависит как от так и от Если исключить гравитационный потенциал V из уравнений (9) и (10), то можно написать

Возвращаясь к формулам (1), получаем

Отсюда немедленно следует, что все изобарические и изопикнические поверхности совпадают в том и только в том случае, если

Это прямое следствие уравнений движения, и, чтобы его получить, не нужно заранее знать уравнение состояния.

Ясно, что условие (29) всегда выполняется в баротропах как при твердотельном, так и при дифференциальном вращении. Однако если рассмотреть

вращающуюся бароклину, на которую наложено условие (29), то формула (28) показывает, что и в этом случае изобарические и изопикнические поверхности должны совпадать, несмотря на то что это в высшей степени неестественно и не следует a priori из уравнения состояния, которое связывает возможно, другие параметры! Итак, вообще говоря, можно утверждать, что

Каково бы ни было уравнение состояния, бароклинные звезды, у которых характеризуются следующими свойствами: 1) эффективная сила тяжести имеет потенциалу 2) эффективная сила тяжести нормальна к изопикническим поверхностям, 3) изобарические и изопикнические поверхности всюду совпадают.

Всюду далее мы будем называть эти очень своеобразные бароклины псевдобаротропами, поскольку в них соблюдаются почти все свойства баротроп. Следует отличать их от истинных бароклин, относительно которых мы можем теперь сделать следующее утверждение:

В неоднородно вращающейся бароклинной звезде, угловая скорость которой зависит и от и от эффективная сила тяжести не обладает потенциалом, 2) эффективная сила тяжести, вообще говоря, не перпендикулярна к изопикническим поверхностям, 3) изобарические и изопикнические поверхности, вообще говоря, составляют друг с другом конечный угол.

В гл. 7 мы наложим другие сильные ограничения на излучающие бароклины и псевдобаротропы в состоянии стационарного вращения.

Итак, исключая особый случай псевдобаротроп, можно сказать, что для баротропных звезд справедливы два эквивалентных утверждения

Кроме того, стратификация баротроп и псевдобаротроп такова, что поверхности, на которых и постоянны, совпадают; силовые линии эффективной силы тяжести ортогональны к этим поверхностям. Указанные свойства значительно упрощают задачу построения вращающихся конфигураций. Напротив, дела обстоят не так просто, когда мы рассматриваем истинные бароклины, так как в этом случае ни одно из вышеперечисленных свойств не справедливо. Особенно важен тот факт, что эффективная сила тяжести уже не ортогональна изопикническим поверхностям.

Правила Бьеркнеса — Росселанда

Из уравнений (27) или (28) можно вывести дополнительные следствия. Эти уравнения показывают, что, когда центробежное ускорение изменяется в направлении, параллельном оси вращения, изобарические и изопикнические поверхности составляют друг с другом ненулевой угол. Предположим, что направление вектора угловой скорости совпадает с направлением оси Тогда векторы лежат в плоскости, проходящей через ось а скорость направлена в сторону возрастания азимута. При таком соглашении угол между векторами следует отсчитывать в направлении от оси вращения.

Если в данной точке величина положительна, то правая часть уравнения (28) также должна быть положительной. Следовательно, в этой точке угол между осью меньше, чем угол между и осью Это означает, что изобарические поверхности сплюснуты сильнее, чем изопикнические. Рассмотрим в качестве примера химически однородную звезду, которая удовлетворяет уравнению состояния идеального газа, т.е. предположим далее, что ее плотность монотонно убывает наружу. Если на всем пути от полюсов к экватору, то вещество на изобарической поверхности холоднее на полюсах, чем на экваторе, т.е. изотермические поверхности сплюснуты сильнее, чем изобарические. Если то положение обратное. Разумеется, если обращается в нуль во всей конфигурации, то мы возвращаемся к случаю, когда изобарические и изопикнические поверхности совпадают; в наших предположениях температура на этих поверхностях также принимает постоянное значение.

Теорема Лихтенштейна

Еще одно различие между баротропами и бароклинами связано с существованием экваториальной плоскости симметрии. Вопреки ходячему мнению, этот вопрос далеко не тривиален, поскольку такой плоскости может и не быть! Эту проблему подробно изучили Лихтенштейн и Вавр, которые доказали, что вращающиеся звезды, угловая скорость которых не зависит от всегда обладают экваториальной плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения.

Строгое математическое доказательство выходит за рамки настоящей книги. Как и следовало ожидать, случай истинных бароклин несколько сложнее. Их угловая скорость зависит как от так и от и чтобы существовала плоскость симметрии, должно выполняться определенное условие. Снова опуская доказательство, мы можем привести окончательный результат в такой формулировке:

Если угловая скорость дифференциально вращающейся бароклины в каждой точке представляет собой однозначную функцию плотности и расстояния от оси, то тело звезды симметрично относительно экваториальной плоскости.

Другими словами, пусть произвольная линия, параллельная оси вращения, проходит сквозь тело, она пересекает каждую изопикническую поверхность в двух точках. Если в этих точках значения одинаковы, то однозначная функция; это и гарантирует существование плоскости симметрии. Первым этот вопрос рассмотрел Див. В дальнейшем, говоря о бароклинных моделях, мы всегда будем постулировать существование экваториальной плоскости симметрии.