6.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП

Как указывалось выше, чтобы исследование на устойчивость было строгим, требуется доказать полноту системы нормальных мод. Если такого доказательства нет, то предпочтительнее рассматривать сами движения, характеризуя их начальными значениями. Такой подход возможен благодаря энергетическому принципу Лаваля, Мерсье и Пелля.

Предположим, что малые отклонения от известного равновесного строения описываются при помощи лагранжева смещения которое удовлетворяет уравнению вида

где линейный оператор, не зависящий от времени и симметричный. Таким образом, имеем

где две произвольные гладкие функции. Тогда если величина

отрицательна для всех конечных смещений » не равных тождественно нулю, то конфигурация устойчива, т.е. кинетическая энергия возмущенного движения

не может возрастать от своего значения в начальный момент времени, скажем

Приведем сначала два важных соотношения, которые понадобятся в дальнейшем. С помощью формул (47) — (51) можно написать

где — постоянная. Аналогично получаем

где

Уравнение (52) просто выражает закон сохранения энергии возмущенного движения, а уравнение (53) — это обычная скалярная форма теоремы вириала.

Очевидно, если для всех допустимых функций величина отрицательна, то из выражения (52) следует, что не может возрастать от своего начального значения. Таким образом, это условие является достаточным.

Чтобы доказать, что оно служит также необходимым условием устойчивости, предположим, что существует интегрируемое с квадратом смещение такое, что

где положительная постоянная. Наложим теперь начальные условия

При таком специальном их выборе мы можем определить значение и уравнение (52) сведется к виду

Объединяя теперь формулы (53) и (57), получим

Затем, пользуясь неравенством Шварца, которое в данном случае имеет вид

можно написать

или

С другой стороны, вследствие начальных условий (56) имеем

а отсюда в силу неравенства (61) получаем

откуда следует, что

Наконец, если из формул (55), (57) и (59) мы выведем то получим

Таким образом, вследствие с необходимостью должно сильно измениться по сравнению со своим начальным значением.

Итак, отрицательность для всех допустимых смещений является необходимым и достаточным условием устойчивости. Сила этого принципа в том, что он позволяет обойтись без всяких предположений о существовании нормальных мод или о наличии у них каких-либо определенных свойств, когда эти моды действительно существуют.