4.4. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СТРАТИФИКАЦИИ

Теперь уместно спросить, при каких условиях изобарические поверхности представляют собой некоторый набор концентрических сфероидов?

Этот вопрос, который впервые поставил Ами в 1889 г., не так прост, как может показаться на первый взгляд. Для иллюстрации снова ограничимся твердотельно вращающимися звездами. Применяя к обеим частям соотношения (19) оператор Лапласа и учитывая уравнение (11), получаем

Кроме того, плотность твердотельно вращающихся объектов зависит только от поэтому выражение (31) можно символически записать так:

Предположим далее в самой общей форме согласно Вольтерра и Пиццети, что уровенные поверхности заданы уравнениями

где вид функции пока не указывается. Таким образом,

где штрих означает производную по Точно так же получаем

и два аналогичных уравнения, включающих производные по Исключая с помощью этих четырех уравнений производные из уравнения (32), в конце концов найдем

Ясно, что если выбираемая стратификация допустима, то соотношение (36) должно тождественно выполняться для всех и связанных уравнением (33).

Выберем теперь сфероидальную стратификацию вида

где произвольные функции от Уравнение (36) переписывается так:

причем переменную мы уже исключили. Если сфероиды представляют допустимое решение, то это уравнение должно удовлетворяться при всех

В последнем члене уравнения содержится в шестой степени, а в остальные члены эта переменная входит в четвертой степени. Отсюда мы выводим, что

Сфероиды (37) должны быть гомотетичными, и уравнение (38) сводится к виду

Разумеется, мы исключаем как возможное решение, поскольку оно соответствует сферической стратификации. Таким образом, у нас остается лишь возможность

и, значит, мы должны считать, что и постоянная. В силу соотношений (31) и (32) отсюда в свою очередь следует, что постоянной должна быть и плотность Итак, допустимыми решениями служат только однородно вращающиеся сфероиды постоянной плотности, причем давление постоянно на гомотетичных сфероидах.

Аналогично можно доказать, что дифференциально вращающиеся звезды, у которых зависит только от не допускают сфероидальных стратификаций. Мы не будем приводить здесь доказательство, тем не менее теперь мы можем сформулировать общее утверждение:

Если центрально конденсированная баротропа или псевдобаротропа находится в состоянии стационарного вращения, то изобарические поверхности нельзя описать как набор концентрических сфероидов.

К этому утверждению нужно добавить два замечания. Во-первых» если допустить, что отклонение от сферичности мало, то в первом приближении для описания медленно вращающихся тел можно использовать сфероидальные стратификации. Много таких примеров встретится в разных разделах настоящей книги. Во-вторых, как впервые установил Див, сформулированное утверждение неприменимо к истинным бароклинам. Используя подходящие сфероидальные стратификации, можно построить много соответствующих моделей. Однако такими простыми решениями нельзя правильно описать реалистические модели звезд. Мы не будем подробнее останавливаться на этой проблеме.