4.2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Прежде всего сделаем следующие предположения:

1) звезда изолирована в пространстве и вращается вокруг фиксированной оси с некоторой, пока произвольной угловой скоростью;

2) конфигурация стационарна в инерциальной системе отсчета, а плотность каждого элемента массы постоянна вдоль его пути;

3) трением можно полностью пренебречь;

4) на звезду не действуют электромагнитные силы.

Если конфигурация обладает всеми этими свойствами, то по определению для инерциального наблюдателя она находится в состоянии стационарного вращения. Предположим теперь, что звезда вращается вокруг оси и примем центр масс за начало системы отсчета. Тогда в цилиндрических координатах компоненты вектора скорости имеют вид

в инерциальной системе; угловая скорость считается пока произвольной функцией пространственных координат.

Из сделанных предположений можно немедленно вывести следующее заключение:

Если газовая звезда находится в состоянии стационарного вращения в инерциальной системе отсчета, то она с необходимостью обладает осевой симметрией.

Этот результат непосредственно вытекает из закона сохранения массы. Действительно, можно написать

или

[см. разд. 3.3, уравнение (21)]. Поскольку плотность элемента массы не меняется вдоль его пути, имеем несмотря на то что система состоит из газа, из уравнения (2) следует

Из соотношений (1) и (4) получаем

Далее, согласно предположению, также поэтому уравнения (3) и (4) дают

Это выражение показывает, что скорость лежит в плоскости, касательной к поверхности равной плотности. Таким образом, с помощью соотношений (1), (5) и (6) можно написать

и, предполагая, что 00, находим

При помощи формул (5) и (8) теперь легко показать, что функции также обладают осевой симметрией.

Полученный результат позволяет сильно упростить уравнения движения [см. разд. 3.3, уравнение (39)]. Мы находим

В общем случае гравитационный потенциал и плотность связаны уравнением Пуассона

где гравитационная постоянная. Иногда удобнее вместо уравнения (11) пользоваться интегральной формой ньютоновского потенциала, т.е.

где интеграл берется по (неизвестному) объему звезды У. По соглашению

границей звезды считается поверхность на которой давление равно нулю. Преимущество интегральной формы (12) состоит в том, что граничные условия на гравитационный потенциал, непрерывность тяготения на (неизвестной) поверхности теперь учитываются автоматически.

Чтобы завершить постановку задачи, нужно добавить соответствующее уравнение состояния. В общем случае давление зависит от плотности, температуры и химического состава звезды. На данном этапе явный вид зависимости нам не нужен, и мы символически запишем

где переменные вообще говоря, зависят от По определению бароклиной (или бароклинной звездой) называется система, в которой справедливо физическое соотношение вида (13). Разумеется, температура — это еще одна неизвестная величина; так что, даже зная переменные мы должны включить в нашу систему уравнений еще одно термодинамическое уравнение. Пока что такое соотношение нам не понадобится.

В определенных случаях к уравнениям движения удобно добавить геометрическое соотношение, которое связывает только давление и плотность. Предположим, что

Всякая модель, в которой выполняется такое соотношение, называется баротропой (или баротропной звездой). В качестве примера можно упомянуть политропы, которые часто играют полезную роль, поскольку представляют собой простые системы. Ясно, что уравнению баротропы удовлетворяет и белый карлик с нулевой температурой, однако с физической точки зрения этот объект скорее следует рассматривать как особый предельный случай бароклины.

Основное различие между баротропными и бароклинными звездами состоит, естественно, в том, что их стратификации неодинаковы. Очевидно, что в баротропе (буквально: «подобная давлению») поверхности равной плотности — изопикнические поверхности — совпадают с изобарами. Напротив, в бароклинной звезде (буквально: «под углом к давлению») изопикнические поверхности, вообще говоря, составляют некоторый угол с изобарами и пересекают их; совпадение в этом случае имеет место лишь иногда, при весьма специфических условиях.