14.5. КОНВЕКТИВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

Несмотря на большое число независимых работ, взаимодействие вращения с конвекцией остается одной из нерешенных проблем в теории вращающихся звезд. Следует рассмотреть два вопроса: меняется ли при вращении условие для возникновения конвекции? Сильно ли различаются по своим общим свойствам конвекция, уже установившаяся во вращающейся звезде, и конвекция в невращающейся звезде? Мы остановимся главным образом на первом вопросе, причем здесь будет изучена устойчивость относительно малых изоэнтропических смещений.

В сферически симметричной звезде конвекция возникает, если квадрат локальной частоты Брунта — Вяйсяля (см. разд. 6.4)

становится отрицательным. Из простых соображений напрашивается вывод, что в общем случае вращение стремится подавить конвекцию. Чтобы пояснить эту точку зрения, рассмотрим твердотельно вращающуюся звезду. Ее момент количества движения на единицу массы постепенно увеличивается наружу, и только для осесимметричных движений величина постоянна для любого элемента жидкости при его смещении. Таким образом, элемент массы, который уносится этими движениями от оси вращения, будет обладать меньшим моментом количества движения, чем окружающие элементы, и будет замедляться; аналогично, вещество, переносимое внутрь, будет обладать избыточным моментом количества движения и также будет замедляться (см. разд. 7.3). Так, например, Рандерс получил следующий критерий локальной устойчивости для ячеек, вытянутых по радиусу от центра звезды:

где дополнение широты до 90°. Однако, как указал Каулинг, если рассматриваются неосесимметричные движения, то из-за азимутальных градиентов давления величина не остается постоянной; поэтому для таких смещений стабилизирующее влияние вращения на коцвекцию может исчезнуть. Каулинг убедительно показал это, проведя линейный анализ устойчивости при локальных возмущениях вида

В этих предположениях условие конвективной устойчивости в твердотельно вращающейся звезде приобретает вид

где угол (почти равный между вектором эффективной силы тяжести и полярной осью. В этом условии локальной устойчивости учитываются основные эффекты вращения на возникновение конвекции как при осесимметричных, так и неосесимметричных смещениях.

В отсутствие вращения неравенство (55) сводится к и переходит в обычное условие, что фактический градиент температуры у звезды в лучистом равновесии не превосходит адиабатический градиент. Кроме того, если рассматриваются только смещения, симметричные относительно оси вращения, то в неравенстве (55) нужно положить В частности, если (это соответствует радиальным смещениям), то критерий Каулинга сводится к виду

что, в сущности, равносильно критерию Рандерса (53), поскольку

малый угол между и радиальным направлением. Аналогично, если положить то неравенство (55) сводится к критерию устойчивости Валена

для смещений, перпендикулярных оси вращения. В общем случае неравенство (55) показывает, что должно быть сравнимо по величине с 402, так что конвекция не возникает до тех пор, пока градиент температуры не превысит адиабатический градиент на величину, хоть и малую, но не настолько, чтобы ею можно было пренебречь; отсюда следует, что вращение стабилизирует конвекцию для широкого класса смещений. Однако при некоторых возмущениях критерий Каулинга (55) показывает, что для существования конвективных движений градиент температуры должен превысить адиабатический градиент лишь на очень малую величину; это возмущения, для которых мало по сравнению с к- или с или с обеими этими величинами. Следовательно, конвективные движения в твердотельно вращающейся звезде должны возникать всякий раз, когда фактический градиент температуры превышает адиабатический, но если это превышение недостаточно велико, то они возникают лишь для смещений определенных типов. Другими словами, при твердотельном вращении критерий Шварцшильда остается неизменным, а вращение просто стабилизирует некоторые возмущения, которые в его отсутствие были бы неустойчивыми.

Эти выводы Каулинг впервые получил на основе анализа локальной устойчивости твердотельно вращающейся звезды; таким образом предполагалось, что размеры элементов, участвующих в конвекции, малы по сравнению с характерными вариациями макроскопических переменных (таких, как плотность и давление), а какие-либо флуктуации в силе гравитации, вызванные возмущениями, в расчет не принимались. В дальнейших исследованиях влияния вращения на возникновение конвекции в звезде усилия были сосредоточены на простых конфигурациях, которые допускают анализ глобальной устойчивости их и -мод. Рассмотрим три такие системы; в каждой из них подтверждается приближенный, но убедительный анализ Каулинга.

Простейшая из этих моделей — полубесконечная изотермическая атмосфера, которая в отсутствие вращения становится конвективно неустойчивой при т.е. при (Вытекающее из этого неравенства физическое противоречие не сказывается на полученных из него качественных выводах.) При наличии вращения в изотермической атмосфере имеется два набора мод: -моды (высокочастотные) и -моды (низкочастотные). Как. показал Лебовиц, связанные с этими изоэнтропическими движениями характеристические частоты имеют вид

где и к — «вертикальное» и «горизонтальное» волновые числа

соответственно. [Все переменные безразмерны за счет выбора характерной высоты в качестве единицы длины и в качестве единицы времени.] Устойчивы моды, для которых поэтому конвективные моды неустойчивы, если

Значит, необходимое условие конвективной неустойчивости — это Кроме того, это условие и достаточное, в чем легко убедиться, взяв «достаточно большое» к и «достаточно малое» Это согласуется с выводами Каулинга, т.е. если то существуют смешения с достаточно большим горизонтальным волновым числом, которые относятся к неустойчивому типу.

Анализ Каулинга подтверждается вновь при глобальном исследовании нерадиальных колебаний твердотельно вращающихся цилиндров конечного радиуса и бесконечной длины, в котооых давление и плотность связаны политропным соотношением В отсутствие вращения эти конфигурации становятся конвективно неустойчивыми при Для таких чисто нерадиальных движений лагранжево смещение приобретает вид

Особенно поучителен предельный случай (т.е. однородный цилиндр), поскольку здесь имеются точные решения, которые выражаются при помощи многочленов Якоби; более того, если выбрать в качестве единицы времени то можно показать, что -моды являются решениями уравнения четвертой степени

где

Насколько нам известно, это единственная самосогласованная конфигурация, для которой получены полные наборы акустических и конвективных мод. На рис. 14.16 показана зависимость самых низких -мод от скорости вращения (Чтобы выполнялось условие механического

Рис. 14.16. Действительная и мнимая части характеристических частот самых низких -мод в зависимости от для однородных цилиндров в твердотельном вращении. Сплошная линия штриховая линия Около кривых указаны значения ту которым они соответствуют даны в единицах Действительные частоты и представлены только для линии).

равновесия, мы должны иметь Итак, во-первых, вращение снимает двукратное вырождение, которое преобладает в предельном случае гидростатического равновесия. Во-вторых, в этом предельном случае -моды динамически неустойчивы, но при вращении конвективные движения превращаются в колебания с растущей амплитудой. -третьих, скорости роста этих колебаний уменьшаются за счет вращения. -четвертых, хотя вращение может стабилизировать последовательно некоторые из -мод, тем не менее для -мод с достаточно большими значениями возможна колебательная неустойчивость. Роуб пришел к аналогичным выводам для цилиндров с увеличивающейся к оси вращения плотностью с показателями Однако, как показал этот автор, при любой скорости вращения такого цилиндра собственные значения всех -мод всегда остаются комплексными. Таким образом, полная стабилизация некоторых -мод (которая видна на рис. 14.16) может быть артефактом политропных моделей с показателем политропы, равным (или почти равным) нулю. Так или иначе, обе работы ясно указывают на то, что в твердотельно вращающихся политропных цилиндрах при всегда возникают конвективные движения (колебательно неустойчивые). Тем самым анализ локальной устойчивости Каулинга снова подтверждается.

Сложность нашей задачи, пожалуй, лучше всего видна на примере сжимаемых сфероидов Маклорена. (Хотя такие быстро вращающиеся конфигурации весьма нереалистичны, из всех ограниченных систем только они были тщательно исследованы на конвективную неустойчивость.) На рис. 14.17 и 14.18 изображены три конвективные моды, которые в предельном случае гидростатического равновесия вырождаются в (тройную) -моду, соответствующую разд. 6.4, уравнение Для ясности мы приводим зависимость частот от сплюснутости где отношение полуосей В данном случае компоненты лагранжева смещения, связанного с этими движениями, можно записать в точном виде

где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование Константы и можно вычислить; они зависят от моды, поскольку вращение снимает трехкратное вырождение, которое наблюдается в предельном случае . Как видно на рис. 14.17, характеристическая частота осесимметричной -моды сначала остается мнимой, однако далее вдоль последовательности сфероидов Маклорена она становится действительной. (Отметим, что точное место перехода от неустойчивости к устойчивости сильно зависит от значения Поэтому колебательно неустойчивой эта мода никогда не становится; если отклонение от сферической симметрии

Рис. 14.17. Характеристическая частота самой низкой осесимметричной -моды в зависимости от сплюснутости для однородных, сжимаемых сфероидов Маклорена. Около кривых указаны значения у, для которых они рассчитаны; дано в единицах

Рис. 14.18. Характеристические частоты самых низких неосесимметричных -мод в зависимости от сплюснутости для однородных, но сжимаемых сфероидов Мнимая часть приводится по абсолютной величине; дано в единицах

оказывается достаточно большим, то она может даже стать полностью устойчивой, Напротив, две неосесимметричные моды на рис. 14.18) сначала становятся колебательно неустойчивыми, но их инкременты несколько понижены вследствие вращения. Таким образом, при медленном вращении 1) эти результаты очень похожи на результаты Смейерса и Дениса для более высоких мод. (Клемент, а также Дэрни и Скуманич обнаружили, что самые низкие -моды медленно вращающихся слегка деформированных политроп ведут себя аналогично.) Однако при больших скоростях вращения поведение мод становится довольно сложным, как видно на рис. 14.18, на котором показано, что существует взаимосвязь между этими двумя модами и еще одной модой, которая в предельном случае гидростатического равновесия имеет частоту (При в игру вступает четвертая мода, т.е. -мода, которая в предельном случае принадлежит сферическим гармоникам Поэтому, хотя полная стабилизация мод при промежуточных скоростях вращения может быть опять-таки артефактом этих моделей, судя по нашему точному решению, есть все основания полагать, что задача отыскания высоких -мод в быстро вращающиихся сильно деформированных телах может в конечном счете оказаться безнадежной. Чтобы продвинуться в этом направлении, нужно изучать

дифференциально вращающиеся центрально конденсированные конфигурации, возможно, с помощью уравнения (63) и многочленов более высокого порядка в качестве пробных функций для лагранжева смещения. Пока не получено таких результатов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)