3.6. ЗВЕЗДНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

Звездное вещество — это электропроводящая жидкость. Поэтому при наличии магнитного поля течение и поле будут взаимосвязаны. С одной стороны, движения проводящей жидкости поперек магнитных силовых линий порождают электрические токи, а эти токи в свою очередь изменяют исходное магнитное поле. С другой стороны, вследствие взаимодействия между электрическими токами и магнитным полем возникает объемная сила, которая возмущает движение жидкости.

Свойства и изменения электромагнитного поля описываются уравнениями Максвелла. Поскольку быстрые колебания поля нас интересовать не будут, мы можем пренебречь токами смещения. Как следствие этого мы не учитываем и накопление электрического заряда; такое приближение здесь законно, потому что в уравнении сохранения электрического заряда оно сказывается лишь на членах порядка . В этих предположениях уравнения Максвелла имеют вид

где напряженности магнитного поля и электрического поля и плотность тока измеряются в единицах Предполагается, что вещество немагнитно и его магнитная проницаемость равна единице.

Еще одно независимое соотношение необходимо для описания плотности электрического тока. Рассмотрим движущуюся частицу жидкости. Если ее скорость, то полное электрическое поле равно т.е. сумме поля не связанного с ее движением, и индуцированного поля Тогда, согласно закону Ома,

где коэффициент электропроводности.

Уравнения (117) — (120) описывают электромагнитное поле. Поле действует на течение посредством силы Лоренца массовой силы на единицу объема, с которой магнитное поле влияет на электрические

токи. Имеем

С учетом уравнения (119) можно записать компоненты вектора I в таком виде:

Таким образом, сила Лоренца эквивалентна магнитному давлению которое одинаково во всех направлениях, а также натяжению вдоль магнитных силовых линий.

Если учесть эту электромагнитную силу в законе сохранения импульса, то мы получим модифицированные уравнения Навье — Стокса

где полное давление, даваемое уравнением состояния [ср. также уравнения (25) и (47)]. Уравнение неразрывности (20), как легко видеть, остается прежним, а закон сохранения тепловой энергии нужно модифицировать так, чтобы учесть переход магнитной энергии в тепло (в единичном объеме). Для движущихся проводников эта диссипативная добавка составляет Следовательно, уравнение (63) теперь необходимо заменить на

где

есть коэффициент магнитной вязкости.

Магнитные поля в движущейся жидкости. В большинстве задач удобно исключить векторы из уравнений (117) — (120). При этом получаем

С учетом (119) это уравнение приобретает вид

С помощью уравнения (21) находим

В частности, если тождественно обращается в нуль, то уравнение (128) сводится к

Мы видим, что это уравнение имеет в точности такой же вид, как и уравнение для завихренности (104). Сходство здесь и в самом деле полное, поскольку как так и соленоидеально [см. уравнения (80) и (119)]. Поэтому все теоремы, которые были рассмотрены в разд. 3.5 для гомэнтропических течений без трения, можно быстро перенести на случай магнитных полей в идеально проводящей жидкости.

Во-первых, определим магнитную силовую трубку как поверхность, образованную магнитными силовыми линиями, проходящими через некоторую замкнутую кривую. Тогда из уравнения (119) следует, что магнитный поток через любое сечение магнитной силовой трубки есть величина постоянная:

где произвольные сечения магнитной трубки [см. формулу (82)]. Поэтому магнитные силовые линии не могут начинаться или кончаться в жидкости; они либо замкнуты, либо кончаются на границе. Эти свойства имеют место всегда.

Во-вторых, из уравнения (129) следует, что в идеально проводящей среде все частицы жидкости, первоначально лежавшие на магнитной силовой линии, продолжают находиться на ней. В тех же предположениях

где произвольная незамкнутая жидкая поверхность [см. уравнение (103)]. Иными словами, при движении трубки вместе с жидкостью интенсивность магнитной силовой трубки остается постоянной. Наконец, величина пропорциональна длине элементарного отрезка магнитной силовой линии. Эти результаты, впервые отмеченные Валеном, неверны, если электропроводность конечна; в этом случае магнитные силовые линии не всегда связаны с жидкостью и магнитное поле со временем затухает.

В заключение отметим, что уравнение (87) приобретает теперь вид

Последний член этого уравнения, вообще говоря, не равен нулю. Поэтому взаимодействие поля и течения порождает и разрушает вихри.

Граничные условия. Для иллюстрации пренебрежем вязким трением и предположим, что электропроводность бесконечна Поскольку магнитное поле обычно пронизывает и звезду, и окружающее пространство, нужно найти и должным образом согласовать на поверхности звезды внутреннее и внешнее поля. Граничные условия можно наложить следующим образом. Во-первых, сила тяготения на

поверхности должна быть непрерывна. Во-вторых, нормальная к поверхности раздела составляющая тензора напряжений вещества, излучения и магнитного поля должна быть непрерывной. Итак, вместо единственного условия (49) потребуем теперь, чтобы

где квадратные скобки означают скачок соответствующей величины на границе. (Отметим, что давление не может стать отрицательным!) -третьих, поскольку магнитный поток через поверхность звезды должен быть непрерывным, мы должны предположить также, что

Таким образом, хотя нормальный компонент магнитного поля непрерывен, его тангенциальные компоненты могут быть разрывны, если предположить, что звезда — это идеально проводящая среда. Ясно, что если скачок существует, то он параллелен поверхности У. Из этого в свою очередь следует существование поверхностного тока с плотностью В случае бесконечной проводимости избежать поверхностных токов можно, лишь положив на поверхности У. Таких токов не будет и тогда, когда электропроводность звезды конечна, потому что в этом случае тангенциальные компоненты магнитного поля также должны быть непрерывны. Это дополнительное условие соответствует увеличению порядка дифференциального уравнения (128), когда мы начинаем учитывать диффузию магнитного поля.