3.4. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Уравнения (20), (25) и (46) вместе с соответствующим уравнением состояния образуют систему из шести соотношений между семью неизвестными величинами Следовательно, эту систему необходимо дополнить еще одним уравнением, вытекающим из законов термодинамики, вместе с определенными выражениями для коэффициентов переноса и скоростей энерговыделения. Процессами диффузии мы вообще не будем заниматься, а омическую диссипацию рассмотрим в разд. 3.6.

Пусть полная внутренняя энергия на единицу массы. Имеем

где тепловая энергия (плюс любая энергия ионизации или возбуждения), связанная с частицами, а -плотность энергии излучения абсолютно черного тела. Полная энергия, заключенная в элементе жидкости равна, следовательно,

где субатомная энергия, связанная с собственной массой частиц.

Принцип сохранения энергии теперь можно сформулировать так: скорость изменения полной энергии элементарного объема жидкости равна сумме скорости, с которой над этим элементом совершается работа, и скорости, с которой теплота и излучение поступают в этот элемент. Этот принцип можно выразить в виде уравнения

где векторы теплового и лучистого потоков соответственно [см уравнения (66) и (67)]. Знак минус берется потому, что если эти векторы направлены внутрь, то величина получается отрицательной. Далее, поскольку объем произволен, из уравнений (23), (34) и (55) следует

Это уравнение полной энергии.

В таком виде закон сохранения не очень удобен для практических приложений. Умножим поэтому обе части уравнения (36) на и проинтегрируем по объему С помощью формул (23) и (34) можно тогда написать

где через обозначено произведение Объединяя уравнения (55) и (57), получаем

Таким образом, в каждой точке должно выполняться соотношение

В уравнение (59) входит скорость выделения энергии в термоядерных реакциях

Далее, путем простых алгебраических выкладок из формул (42), (43) и (47)

можно вывести

где

Подставляя полученные результаты в уравнение (59), получаем

Это уравнение соответствует первому закону термодинамики (т.е. закону сохранения тепловой энергии). Мы будем пользоваться им вместо уравнения полной энергии.

Принимая, что изменения в каждой точке звезды квазистатичны, можно написать

где энтропия на единицу массы. Сравнение уравнений (63) и (64) с учетом (21) приводит к результату

который выражает скорость изменения энтропии при движении частицы жидкости вдоль ее траектории. Правая часть этого уравнения есть не что иное, как количество «теплоты», поглощаемой в единичном объеме за единицу времени. Положительная функция представляет собой скорость, с которой теплота порождается вязким трением в единичном объеме в единицу времени, и в соответствии с этим называется диссипативной функцией. Функция означает скорость генерации энергии на единицу массы в единицу времени, ее зависимость от и химического состава звезды известна. Член -описывает приток тепла от соседних элементов жидкости. Следуя Фурье, будем считать

где коэффициент теплопроводности Подобным же образом если исключить из рассмотрения внешние области звезды, близкие к поверхности, то вектор лучистого потока можно записать так:

где

есть коэффициент лучистой теплопроводности. Как так и положительны, потому что потоки энергии направлены от областей с высокой температурой к областям с низкой температурой.

Изоэнтропические движения

Иногда удобно выделить такие движения, для которых энтропия каждой частицы жидкости остается в первом приближении постоянной на протяжении всего пути частицы (хотя при переходе с одной траектории на другую энтропия может меняться). В таком случае

и уравнение (63) сводится к виду

Это уравнение просто выражает тот факт, что скорость изменения полной внутренней энергии движущегося элемента массы равна работе по сжатию этого элемента, совершаемой окружающей средой.

В дальнейшем нам часто придется рассматривать смесь простого идеального газа и излучения абсолютно черного тела. Пренебрегая энергией ионизации и возбуждения, имеем

где — универсальная постоянная идеального газа, средняя атомная масса. Определим также постоянную у как отношение теплоемкостей на единицу массы при постоянных давлении и объеме. Тогда в силу уравнения (21) условие изоэнтропичности приобретает вид

где

и Впервые это уравнение вывел Эддингтон. Как показал Чандрасекар, можно также написать

где связаны с следующими соотношениями:

Наконец, отношение изменяется в соответствии с формулой

Заметим, что при условии все величины совпадают с обычным показателем адиабаты а если присутствует одно лишь излучение абсолютно черного тела то они равны Таким образом, для смеси идеального газа и излучения абсолютно черного тела обобщенные показатели адиабаты принимают промежуточные значения от до