5.2. РАЗЛОЖЕНИЕ КЛЕРО — ЛЕЖАНДРА

Для описания этого метода ограничимся однородно вращающимися конфигурациями. В этом случае с помощью уравнений движения можно написать

тогда с точностью до аддитивной постоянной имеем

[см. разд. 4.3, уравнения (19) и (22)]. Кроме того, мы знаем, что уровенные поверхности совпадают с изобарическими и изопикническими поверхностями. Следовательно, если мы найдем удобный способ описания уровенных поверхностей, то получим полное представление о вращающейся системе.

Предположим теперь, что отклонение от сферичности мало. Примем также, что плотность монотонно убывает наружу. Пусть а по определению среднее расстояние от данной поверхности до центра масс. Тогда каждому значению переменной а соответствует одна (и только одна) уровенная поверхность; т.е. мы имеем

где средний радиус а непрерывно изменяется от центра до поверхности, скажем Следовательно, можно считать, что как так и зависят только от среднего радиуса а. Далее, точка на данной уровенной поверхности определяется тремя параметрами. Удобно воспользоваться сферическими координатами и С другой стороны, уравнения уровенных поверхностей можно записать так:

где многочлены Лежандра, а функции (пока неизвестные) описывают отклонение уровенных поверхностей от сфер. Ясно, что если существует экваториальная плоскость симметрии, то в этом разложении содержатся только четные члены. Кроме того, поскольку мы считаем возмущение за счет вращения малым, естественно допустить, что основную роль

в нашем описании твердотельно вращающихся объектов играет функция

Рассмотрим прежде всего гравитационный потенциал К. В данной внутренней точке принадлежащей уровенной поверхности среднего радиуса а, функция является суммой двух слагаемых: потенциала созданного тяготением массы, заключенной внутри поверхности и потенциала тяготения массы, заключенной между этой поверхностью и внешней границей Таким образом, имеем

где с учетом наших приближений

а — полная масса тела.

Пусть переменная точка на уровенной поверхности среднего радиуса Тогда элемент массы, сосредоточенной в есть

где зависимость определяется формулой (4). Величину, обратную расстоянию между точками можно разложить в ряд по многочленам Лежандра. Получаем

где у — угол между двумя радиус-векторами и

Для дальнейшего изложения напомним, что

где присоединенные функции Лежандра (см. приложение В). Имеем также

где

Если мы теперь используем формулы (7) — (12) в предположении, что отклонение нашей системы от сферы достаточно мало, так что можно пренебречь квадратичными членами и попарными произведениями функций то найдем

Как и следовало ожидать, гравитационный потенциал не зависит от азимута

Возвращаясь затем к уравнению (2), можно следующим образом записать эффективный потенциал Ф:

который в силу соотношения (3) зависит только от а. Поскольку мы ограничиваемся теорией первого порядка, имеем

В подынтегральных выражениях (13) и (14) можно связать теперь переменные с помощью формулы (4). В соответствии с нашими приближениями, мы, разумеется, оставляем в разложении лишь члены первого порядка. Учитывая вид центробежного потенциала, заданный уравнением (16), мы тут же замечаем, что в случае медленного твердотельного вращения разложение (4) сводится к виду

где вместо уже не боясь путаницы, можно написать Таким образом, в нашем приближении функции принимают постоянные значения на концентрических сфероидах (см. разд. 4.4). В силу соотношения (16) коэффициент при должен обращаться в нуль; это дает

Умножая на и дифференцируя, находим

Наконец, если разделить обе части выражения (19) на и снова продифференцировать, то получим

где

есть средняя плотность вещества, заключенного внутри поверхности среднего радиуса а.

Если мы положим теперь

то уравнение (20) приобретает вид

В начале координат отсюда и из соотношения (23) следует, что

а это условие достаточно для того, чтобы для любой данной функции полностью определить функцию Итак, если рассмотреть сферическую конфигурацию, для которой отношение известно, то, решая уравнение (23), можно определить искажение формы тела за счет вращения. Поскольку отклонение от сферичности мало, в приведенных выше соотношениях, естественно, можно пренебречь различием между переменными Тогда функцию можно найти из уравнения (22) с

учетом уравнения (19), которое мы применяем только на поверхности

В заключение упомянем одно интересное свойство, которое можно сразу же вывести из уравнений (20) и (23). Запишем

где отношение центробежного ускорения на экваторе к (среднему) ускорению силы тяжести на поверхности, а сжатие слегка сплюснутой фигуры равновесия. В силу уравнения (19) между имеется причинно-следственная связь, поскольку всегда

Бели ограничиться моделями, в которых (в отсутствие вращения) плотность никогда не превышает среднюю плотность то с помощью уравнения (20) можно найти верхний и нижний пределы отношения В самом деле, всякая такая система лежит между однородной моделью для любого значения а) и моделью Роша при а и при В первом случае а во второй конфигурации Таким образом, исходя из формулы (26) можно написать

Большинство изложенных результатов были получены Клеро в 1743 г. и используются до сих пор.