5.5. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ

Методы возмущений, описанные в разд. 5.2 — 5.4, особенно хорошо подходят для описания равновесного строения баротроп и псевдобаротроп с уровенными поверхностями, мало отличающимися от сферы. Допуская более сильные отклонения, можно, конечно, включить поправки более высокого порядка, но аналитические выкладки становятся тогда безнадежно трудными. Поэтому, чтобы продвинуться дальше, следует подойти к задаче по-другому. Таким новым подходом является метод самосогласованного поля (впервые примененный Острайкером и его сотрудниками к баротропным и псевдобаротропным звездам), который как раз и предназначен для того, чтобы полностью избавиться от ограничений, связанных с предполагаемой квазисферичностью. Кроме того, этот метод позволяет без дополнительных усилий рассматривать дифференциально вращающиеся модели, так как в нем можно задавать распределение момента количества движения, а не угловой скорости.

Чтобы проиллюстрировать метод в основных чертах, ограничимся простым случаем дифференциально вращающихся баротроп. Будем считать, что полная масса и полный момент количества движения фиксированные величины. Обозначим наибольший радиус рассматриваемой баротропы через R. (Заметим, что у сильно искаженных моделей с экваториальным выступом радиус может быть больше экваториального радиуса.) Мы будем пользоваться как цилиндрическими, так и сферическими координатами в стандартных обозначениях. Ниже нам понадобится доля массы, заключенная в цилиндре радиуса Имеем

Рассмотрим теперь баротропу и предположим, что она вращаетря с некоторым заданным распределением угловой скорости. Тогда момент количества движения на единицу массы распределен по закону

(Напомним, что при сделанных предположениях угловая скорость не может зависеть от и должна быть задана a priori; см. разд. 4.3 и 4.5.) Согласно Острайкеру и Марку, можно задавать зависимость не только от радиуса но и от лагранжевой переменной таким образом, можно определить вращательное движение при помощи функции вида.

Такое задание закона движения особенно удобно, если отклонение от сферичности велико. В гл. 10-13 мы увидим, что звезды, как правило, могут находиться в относительном равновесии при любом заданном распределении момента количества движения но отнюдь не при любой угловой скорости Нам пока не потребуется функция в явном виде. Тем не менее, отчасти предвосхищая результаты разд. 7.3, уже теперь можно утверждать, что должна быть неубывающей функцией от

Если мы теперь положим

то полный потенциал окажется равным

[см. разд. 4.3, формула (20)]. Как известно, изопикнические и изобарические поверхности баротропной звезды совпадают с уровенными поверхностями поэтому можно считать, что зависит только от

ходя из уравнения (1) и выбранного соотношения можно написать

потребовав, чтобы где, как обычно, индекс указывает, что значение берется на поверхности. Согласно формулам и (78) и в соответствии с теорией потенциала, функции связаны интегральным оператором. Следовательно, в данной точке зависят не столько от локальных свойств, сколько от средних свойств вещества, внутреннего по отношению к этой точке, т.е. в символической записи

где, как мы помним, заданная функция от Стоит отметить, что граничные условия (48) автоматически выполняются, поскольку гравитационный потенциал представлен интегралом (78).

Теперь процесс приближений можно описать так. При помощи уравнения (81), задав подходящее пробное распределение плотности найдем функцию Исходя из этой функции и учитывая уравнение (80), можно в свою очередь получить уточненное распределение плотности Подставляя эту новую плотность в уравнение (81), получим уточненный потенциал и т.д. Таким образом, попеременно решая уравнения (80) и (81) с точностью, допускаемой численным методом, в результате этого процесса итераций мы придем в конечном счете к самосогласованному решению. Описанный метод весьма эффективен. Согласно Острайкеру и Марку, для медленно вращающихся звезд достаточно уже 10-20 итераций, чтобы достичь очень высокой точности. Для сильно искаженных баротроп может потребоваться самое большее около ста итераций, причем подробное исследование показывает, что даже в этом крайнем случае медленная сходимость объясняется скорее вычислительными трудностями, а не недостатками метода.

Рассмотрим теперь вкратце с практической точки зрения основные этапы численного интегрирования. Из уравнения (1) очевидно, что если задана зависимость в явном виде, то уравнение (80) связывает и посредством алгебраического (а не дифференциального или интегрального) оператора, поэтому шаг нахождения равновесия (80) в итерационном процессе осуществляется непосредственно. С другой стороны, на шаге вычисления потенциала (81) требуется дискретизировать два интегральных оператора, чем мы сейчас и займемся.

Предположим, что на некотором шаге процесса итераций нам известна плотность Разумеется, эта функция обращается в нуль на поверхности, которая не является сферической и в экстремальных случаях может весьма сильно отличаться от сфероидальной. Представим теперь плотность приближенно в виде разложения по многочленам. Это разложение удобно искать внутри сферы радиуса с центром в центре масс конфигурации. Имеем

где Отметим, что вследствие симметрии относительно экваториальной плоскости мы пользуемся только многочленами Лежандра четного порядка. Далее, поскольку мы ведем разложение в области в (82) должны появляться лишь четные степени радиальной координаты. Кроме того, чтобы в начале координат имела место непрерывность, постоянные при должны обращаться в нуль; из этого первого ограничения следует также, что плотность принимает конечное значение в центре масс. При этом, хотя истинная плотность обращается на граничной сфере в нуль, приближенная плотность не равна на ней тождественно нулю; поэтому, чтобы свести эту ошибку к минимуму, мы должны добавить ограничение Наконец, параметр который определяет число членов в разложении, выбирают так, чтобы достичь требуемой точности при данных лимитах машинного времени и объема памяти. Оставляя в стороне другие технические подробности, отметим, что плотность (на данном шаге интегрирования) фактически описывается треугольной матрицей

Подставляя формулы (8) — (12), приводим гравитационный потенциал (78) к виду

Подставляя (82) в это разложение и интегрируя по их, находим

Тем самым по любому исходному распределению плотности (т.е. для любой матрицы можно сразу же найти гравитационный потенциал. Аналогично, задавая функцию можно выразить затем центробежный потенциал на единицу массы (77) как многочлен от нормированной переменной Как и в формулах (82) и (84), плотность представлена посредством матрицы В итоге, задавшись некоторой начальной плотностью, можно найти полный потенциал в аналитическом виде. Следующий шаг итерационного процесса состоит в подстановке этого потенциала в уравнение (80) и определении нового распределения плотности.

Этот способ широко использовался для описания политроп и холодных белых карликов в состоянии быстрого дифференциального вращения. Марк применил этот же метод для описания равновесных конфигураций излучающих псевдобаротроп с сильным отклонением от сферической симметрии.

Впоследствии, объединив метод самосогласованного поля со схемой Хениея, Джексон построил модели псевдобаротропных звезд, в которых полностью учитываются детали выделения ядерной энергии и лучистой теплопроводности. Метод самосогласованного поля применял и Клемент, причем при решении уравнения Пуассона он заменил изложенный способ вычисления гравитационного потенциала при помощи разложения в двойной ряд на двумерный метод конечных разностей. При таком способе гравитационный потенциал ищется в каждой точке пространства и на поверхности конфигурации не накладывается никаких граничных условий. Поскольку схема Клемента оказалась быстрой и эффективной для определения гравитационного потенциала в быстро вращающихся баротропах, Чемберс также скомбинировал конечно-разностный метод решения уравнения Пуассона с программой Хениея и разработал итерационный метод построения моделей быстро вращающихся звезд.

Отметим в заключение, что Хаббард, Слэттери и Де Вито разработали новый метод возмущений для нахождения внутреннего строения вращающихся тел в состоянии механического равновесия. Их метод включает разложение плотности по многочленам Лежандра [ср. с формулой (82)] и может быть развит аналитически подобно стандартной теории Клеро — Лежандра (см. разд. 5.2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)