8.5. ЦИРКУЛЯЦИЯ В КОНВЕКТИВНЫХ ЗОНАХ

Рассмотрим теперь вкратце работу Бирманна и Киппенхана, в которой они приводят убедительные свидетельства в пользу существования крупномасштабной меридиональной циркуляции в конвективных областях вращающейся звезды. Для простоты возьмем медленно вращающуюся осесимметричную звезду с незначительным отклонением от сферической симметрии. Магнитными полями полностью пренебрежем. Кроме того, ограничимся лйшь теми областями, где турбулентная конвекция настолько эффективна, что поддерживает температурный градиент на уровне, почти равном адиабатическому градиенту. (Это верно для водородной

конвективной оболочки Солнца, за исключением относительно тонкой области у внешней границы.) Однако, даже если не принимать во внимание влияние на конвекцию медленного вращения, основное направление выталкивающей силы определяется ускорением силы тяжести. Другими словами, турбулентные движения в конвективных областях звезды обычно анизотропны, причем радиальное направление является преимущественным. Таким образом, мы принимаем, что коэффициент турбулентной вязкости задается тензором который в сферических координатах имеет диагональный вид;

где свободный параметр, которой является мерой отклонения от изотропии в турбулентном течении. Конечно, такая модель должна быть очень грубой, но в ней все-таки видно различие между переносом импульса в радиальном и горизонтальном направлениях. Как мы теперь докажем, из наличия этой анизотропии в распределении турбулентной скорости с необходимостью следует существование крупномасштабных течений в конвективной зоне.

Прежде всего примем, что средняя скорость имеет компоненты

в инерциальной системе отсчета. Согласно уравнению (74), закон сохранения массы будет заведомо выполнен, если мы положим

где мы ввели функцию тока Пренебрегая вязкими напряжениями и используя уравнение (74), можно также переписать уравнения движения для осредненного стационарного течения в виде

[ср. с разд. 3.5, уравнение (83)]. Следуя Лебединскому и Васютыньски, выбираем теперь следующие компоненты напряжений Рейнольдса :

В этих формулах члены, пропорциональные множителю — это компоненты напряжений Рейнольдса, соответствующие изотропной части вязкости, а остальные члены описывают наложенную радиальную вязкость, вследствие которой и возникает анизотропия в турбулентных скоростях (ср. с формулой (79)].

Поскольку в конвективной зоне вязкость значительно больше, чем в окружающих лучистых областях, можно теперь приближенно задать условие непрерывности вектора напряжений, накладывая на обе границы условие свободной поверхности, т.е.

где (средние) внутренний и внешний радиусы конвективной зоны соответственно [ср. с разд. 3.3, формула (48)]. Кроме того, поскольку мы принимаем, что движение происходит только в конвективной области,

Наконец, с учетом условий (89) и (90) решения должны быть регулярны вместе со своими производными всюду в этой области.

Далее, -компонент уравнений движения имеет вид

а азимутальный компонент ротора от уравнения (82) дает

При выводе последнего уравнения мы воспользовались тем, что конвективная зона — это гомэнтропическая жидкость (ср. с разд. 3.5); в самом деле, при этом поверхности совпадают и можно написать

Уравнения (91) и (92) и граничные условия (89) и (90) определяют функции в зонах эффективной конвекции.

Покажем теперь, что если турбулентные скорости анизотропны то состояние чисто стационарного вращения (т.е. не является решением. Для иллюстрации мы приведем доказательство только для случая, когда постоянно по всей области. При уравнения (91) и (92) сводятся к виду

Первое из этих условий с учетом выражений (83) — (88) дает следующее ограничение на функцию

это условие впервые вывел Лебединский. Проинтегрировав уравнение (95), получим второе ограничение

означающее, что угловая скорость в гомэнтропической жидкости зависит только от расстояния до оси врашения (см. разд. 4.3). Как показали Бирманн и Киппёнхан, уравнение (96) и соответствующие граничные условия удовлетворяются только тогда, когда угловая скорость постоянна на сферах при законе вращения

где постоянная. Итак, если турбулентность предполагается изотропной, то вращение во всей зоне твердотельно; при этом выполняется и ограничение (97). Бели же то общее решение (98) не может удовлетворить этому ограничению, отсюда следует, что решение недопустимо. Поэтому если турбулентная вязкость анизотропна, то в зоне эффективной конвекции обязательно возникают крупномасштабные меридиональные течения. Этот результат очень похож на парадокс фон Цейпеля (см. разд. 7.2). Однако в отличие от лучистой зоны крупномасштабные течения в конвективной зоне с анизотропным распределением турбулентной скорости возникают из-за необходимости сохранения импульса, а не энергии. Подробные исследования Бирманна и Киппенхана показывают, что этот вывод справедлив и при учете неизбежных малых отклонений от гомэнтропичности.

В приведенных рассуждениях явно предполагалось, что параметр постоянен во всей конвективной зоне. В предельном случае отсутствия вращения это приближение разумно, поскольку тогда динамические проявления турбулентности сферически симметричны. Однако во вращающейся звезде с ростом широты эффективность конвективного переноса изменяется из-за влияния момента количества движения. Роксбург исследовал, к каким следствиям приводит предположение о зависимости параметра от широты. В том же феноменологическом духе он положил

и нашел, для равновесия конвективного слоя с таким параметром анизотропии тоже нужны крупномасштабные течения. Дополнительные свидетельства в пользу существования меридиональной циркуляции в конвективной зоне привел Тейлер. В разд. 9.2 представлены конкретные решения специально для задачи о дифференциальном вращении Солнца.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)