6.2. ЭЙЛЕРОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ ВАРИАЦИИ

При анализе колебаний системы около известного состояния равновесия применимы, вообще говоря, два типа описания: либо мы выделяем те возмущения, которые отмечает внешний наблюдатель в каждый момент в данном элементе объема с фиксированным положением в пространстве, либо описываем флуктуации внутри данного элемента массы, за которым в этом случае приходится следовать вдоль его пути. Оба представления чрезвычайно схожи с эйлеровыми и лагранжевыми переменными, определенными в разд. 3.2, поэтому мы будем их соответственно называть.

Конкретнее, рассмотрим возмущенное течение (т.е. движение вращающейся звезды, которое мы искажаем относительно равновесного состояния) и представим себе, что одновременно существует течение, остающееся невозмущенным (т.е. в уже известном состоянии стационарного вращения). Пусть значения любых физических величин (например, давления плотности гравитационного потенциала V или скорости V) в возмущенном и невозмущенном течениях соответственно. Рассмотрим далее вектор сдвига на который элемент массы возмущенного течения смещен относительно своего образа в невозмущенном течении в момент Функция называется лагранжевым смещением; она четко описывает всякое отклонение от строго определенного равновесного состояния.

Рассмотрим теперь величину

По определению эта эйлерова вариация представляет собой изменение, обнаруживаемое внешним наблюдателем, который одновременно сравнивает значения в реальном и невозмущенном течениях в фиксированной точке пространства х. С другой стороны, приращение

вызванное возмущениями, мы назовем лагранжевой вариацией величины Ясно, что в ней фигурируют одновременные значения величины в обоих течениях в одном и том же элементе массы; в возмущенном течении этот элемент расположен в точке а соответствующий ему образ в невозмущенном течении — в точке х. В силу определений (1) и (2) эйлерову и лагранжеву вариации можно связать при помощи разложения в ряд Тейлора:

(Всюду ниже подразумевается, что по повторяющимся латинским индексам производится суммирование.) Из определения следует также, что лагранжева вариация скорости имеет вид

где лагранжева производная вдоль невозмущенного течения, т.е.

поле скоростей невозмущенной конфигурации. Следует отметить, что формулы (1) — (4) имеют самый общий характер и никакие допущения о малости возмущений для них не нужны.

Если мы теперь аппроксимируем реальное движение, предположив, что настолько малы, что можно пренебречь их квадратами и произведениями, то получим

Таким образом, в первом порядке по возмущениям операторы связаны соотношением

Строго говоря, соотношение (7) справедливо только для бесконечно малых лагранжевых смещений. До конца этой главы мы будем пользоваться этим приближением.

Важное значение лагранжевых вариаций определяется тем, что в первом порядке по возмущениям операция взятия лагранжевой производной коммутативна с В рассматриваемом случае имеем

[ср. с оператором (5)]. Чтобы установить этот полезный результат, приведем сначала некоторые свойства операторов Согласно формуле (1), операции и частной производной действительно коммутативны:

С другой стороны, легко видеть, что операторы и (или )

некоммутативны. В самом деле, с помощью формул (6) и (9) находим

аналогично можно написать

В силу формул (4), (8), (10) и (11) окончательно получаем

При этом мы воспользовались тем, что отличаются только на (пренебрежимо малую) величину Следствием формулы (12) является также