8.3. КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПРИБЛИЖЕНИЙ

На первый взгляд может показаться, что указанные выше сингулярности обусловлены тем, что по какой-то причине разложения (22) — (24) и (29) и (30) неприменимы. В 1966 г. Смит убедительно доказал, что дело совсем не в этом, воспользовавшись для потенциала приближением Роша при изучении циркуляции во внешних слоях тверд отел вращающейся звезды. В самом деле, Смит не применял метода разложений, тем не менее он обнаружил, что в этой модели скорость и также имеет особенность на поверхности. Поэтому ясно, что этот недостаток вызван нарушением одного из сделанных физических допущений. Перечислим их:

1) вектор лучистого потока задается простым уравнением диффузии

2) эффектами инерции и вязкости можно пренебречь,

3) магнитные поля не играют существенной роли,

4) существуют стационарные невязкие решения;

5) химический состав однороден.

Именно эти допущения мы Сейчас и рассмотрим.

Допущение Как известно, уравнение (6) с очень хорошей точностью выражает вектор лучистого потока во внутренних областях звезды. Однако в приповерхностных слоях звезды оптическая толща порядка единицы или меньше, и поток уже не определяется этим локальным выражением. Поэтому нужно решать нелокальное уравнение переноса, которым обычно пользуются при изучении звездных атмосфер. На это обстоятельство независимо указали Осаки и Смит. Подробные вычисления Смита показывают, что при правильном учете переноса изучения во внешних слоях особенность на поверхности не возникает. Тем не менее при малых оптических толщинах скорости и их градиенты все еще чрезвычайно велики; они настолько велики, что пренебрегать инерционным и вязким членами в уравнениях движения нельзя. Отметим, наконец, что подход Смита не устраняет особенность, которая имеет место у границы внутренней конвективной зоны.

Допущение 2. Другой путь обойти подводные камни классической трактовки меридиональной циркуляции в звездах — это сохранить вязкую диссипацию. Такой подход был бы наиболее удачным при изучении течений в оболочках звезд верхней части главной последовательности, поскольку характерное время (лучистой) вязкой диффузии в этих звездах короче, чем время их жизни на главной последовательности (см. табл. 7.1). Таким образом, задавать начальное распределение угловой скорости больше не требуется, а перенос момента количества движения меридиональным течением теперь может постоянно подстраиваться так, чтобы уравновешивать эффекты трения. Поэтому с точностью до уравнение (12) нужно в общем случае заменить на

где через для краткости обозначен полный коэффициент сдвиговой вязкости (ср. с разд. 7.5). Далее, поскольку следует ожидать, что в основном объеме звезды меридиональная скорость и ее градиенты очень малы, можно без ущерба пренебречь инерционным и вязким членами в и -компонентах уравнений движения, а также в уравнении, выражающем сохранение тепловой энергии. Другими словами, следует искать не имеющие особенностей решения уравнений (3), (5), (6), (10), (11) и (13), где функция удовлетворяет теперь уравнению (51). В дополнение к обычным граничным условиям на давление и гравитационный потенциал должны обращаться в нуль касательные вязкие напряжения на внешней границе У, следовательно, должно выполняться условие

[ср. с разд. 7.5, уравнение (71)]. Наконец, поскольку мы рассматриваем стационарные течения, меридиональные линии тока должны быть замкнуты. Значит, на поверхности должен лежать набор выходящих на нее линий тока, то же самое должно иметь место и на оси вращения, потому что никакое течение не может ее пересечь, не нарушив предполагаемую осевую симметрию звезды. Это утверждение принадлежит Рандерсу, который, впрочем, не рассматривал какую-то специальную модель. Подробное исследование стационарных меридиональных течений в вязкой звезде следует всячески приветствовать.

Допущение 3. Еще одна трудность классического подхода к меридиональным течениям состоит в том, что циркуляция, вызванная вращением, неизбежно приводит к переносу момента количества движения, в результате чего заданное распределение угловой скорости нарушается за глобальное характерное время [формула (49)]. Для Солнца значительно больше его времени жизни на главной последовательности и меридиональные течения лишь слегка изменяют закон вращения. Однако для типичной звезды верхней части главной последовательности дело обстоит совершенно иначе и любое начальное распределение угловой скорости будет быстро разрушено циркуляцией. Чтобы хоть отчасти устранить эту несогласованность теории, обычно вводилось слабое полоидальное магнитное поле, которое поддерживает заданный закон вращения, но не дает заметного вклада в тороидальные силы. В сущности, чтобы подойти к этому вопросу со всей строгостью, нужно подробно исследовать взаимодействие между вращением, магнитным полем и меридиональной циркуляцией. Перенос момента количества движения и магнитного потока этими течениями будет, вообще говоря, искажать картину вращения и магнитное поле, а значит, и саму циркуляцию. Но здесь, следуя Чандрасекару и Местелу, мы просто предположим, что достигнуто стационарное состояние, и будем изучать такие законы вращения и магнитные поля, на которые не влияет порождаемая ими циркуляция. Такой способ подходит только для звезд, у которых характерное время циркуляции мало по сравнению с характерным временем их эволюции. Для простоты пренебрежем вязкой и омической диссипацией.

В силу наших предположений скорость и магнитное поле должны удовлетворять условию

где из соображений симметрии мы полагаем [см. уравнение индексы относятся соответственно к полоидальному и тороидальному компонентам, т.е. к меридиональному и азимутальному компонентам [ср. с разд. 3.6, уравнения (118) — (120)]. Если расписать теперь уравнение (53) по этим двум компонентам, то найдем

Поскольку система осесимметрична, тороидальный вектор не может быть градиентом однозначного потенциала, поэтому из уравнения (54) имеем

где скаляр. Аналогично, комбинируя уравнения (55) и (56) и исходя из того, что магнитное поле соленоидально, получаем

где таким образом, можно написать

где постоянно вдоль силовой линии полоидального поля. Из уравнений (56) и (58) следует, что стационарное движение представляет собой произвольное твердотельное вращение каждой силовой линии полоидального поля, наложенное на поле скоростей параллельное полному магнитному полю Заметим, что если мы хотим, чтобы уравнению (56) удовлетворяло ненулевое то магнитные силовые линии (которые совпадают с циркуляционными линиями тока) должны лежать внутри звезды.,

Далее, имеем

или

причем постоянно вдоль силовой линии полоидального поля. Рассмотрим -компонент уравнений движения. С помощью уравнений (121) — (123) (разд. 3.6) находим

При помощи уравнений (56) и (58) можно переписать это уравнение и в таком виде:

отсюда следует

где также постоянно вдоль силовой линии полоидального поля. Это уравнение просто свидетельствует о том, что перенос момента количества движения вдоль силовой линии полоидального поля за счет циркуляции уравновешивается переносом момента количества движения за счет магнитных напряжений.

Далее, комбинируя формулы (58), (60) и (63), находим

В предельном случае отсутствия циркуляции уравнение (64) сводится к закону изоротации Ферраро (ср. с разд. 7.5). Далее, если а то уравнение (65) приобретает вид и выражает тот факт, что полоидальный ток поддерживающий поле должен течь параллельно вектору так что магнитная крутящая сила обращается в нуль [см. уравнение (61)]. При конечном имеем

где локальная скорость альвеновских волн вдоль силовых линий полоидального поля Таким образом, несингулярные стационарные решения возможны только тогда, когда отношение (66) больше или меньше единицы на всем протяжении каждой силовой линии полоидального поля. Параметры свободные с тем лишь условием, что вдоль силовых линий полоидального поля они должны быть постоянными.

В принципе самосогласованные решения можно получить, вводя для неизвестной циркуляции функцию тока и задавая функции тем самым мы обеспечим их постоянство вдоль силовых линий Применение метода возмущений, описанное в разд. 8.2, приводит к очень сложному интегро-дифференциальному уравнению для функции Роксбург получил самосогласованные решения для двух экстремальных случаев. В первом решении плотность энергии вращения гораздо больше, чем у магнитного поля, тогда слабое полоидальное поле поддерживает почти твердотельное вращение; во втором решении фактором, искажающим звезду, служит тороидальный компонент магнитного поля. Для большинства звезд применима только первая из этих моделей. Как показал Махесваран, допустимы и самосогласованные стационарные модели с вращением, мало отличающимся от твердотельного.

Более интересны недавние работы Мосса, в которых описаны самосогласованные картины меридиональных течений в тзердотельно вращающихся магнитных звездах. Как известно, для сохранения локального энергетического равновесия во вращающейся звезде с крупномасштабным

магнитным полем, вообще говоря, требуются меридиональные течения. Поскольку трудно провести самосогласованный расчет вращающихся моделей, обладающих наряду с циркуляцией магнитным полем, большинство исследований посвящалось до сих пор частному случаю, когда циркуляция, порожденная магнитным полем, в точности противоположна циркуляции, порожденной твердотельным вращением (см. разд. 15.4). Если положить где - характерное значение магнитного поля на поверхности, то главные результаты этих вычислений сводятся к следующему: 1) с ростом отношение напряженностей внутреннего и внешнего магнитных полей становится очень большим, 2) при данной скорости вращения и топологии магнитного поля существует минимальное значение полного внутреннего магнитного потока, для которого можно найти решения. Однако, как указал Мосс, нет явных причин ожидать, что для вращающихся звезд с крупномасштабными магнитными полями чем-то предпочтительна конфигурация с нулевой циркуляцией, в которой два циркуляционных движения в точности равны и противоположны. Поэтому Мосс построил модели твердотельно вращающихся звезд со стационарными меридиональными течениями и крупномасштабными полоидальными магнитными полями. Как обычно, использовался метод возмущений первого порядка, а поле скоростей и магнитное поле разлагались в ряды по многочленам Лежандра до члена с или включительно, где в — полярный угол. Чтобы силовые линии могли пересекать поверхность, предполагалось также, что электропроводность конечна. Согласно Моссу, его модели, по-видимому, можно разделить на две группы. В первой группе решения по существу являются малыми возмущениями решений, найденных при нулевой циркуляции (рис. 8.1 и 8.2). Во вторую группу попадают модели со сравнительно слабыми магнитными полями, в которых с ростом отношения центробежного возмущения к магнитному глубоко в недрах звезды циркуляция беспрепятственно возбуждается вращением, тогда как вблизи поверхности важное значение приобретают магнитные силы и скорость циркуляции быстро падает до нуля. Поскольку звезды с чисто полоидальными магнитными полями могут быть динамически неустойчивы в окрестности нейтральных линий (см. разд. 15.3), Мосс построил также модели твердотельно вращающихся звезд с полоидальным полем четной мультипольности вместе с зацепленным за него тороидальным компонентом и самосогласованной термической циркуляцией. Оказалось, что за счет включения тороидального магнитного поля диапазон, в котором могут изменяться значения магнитного потока внутри стационарных моделей, несколько расширяется, но остаются и такие значения угловой скорости и внутреннего потока, для которых нельзя найти решений. С аналогичной трудностью столкнулись также Местел и Мосс, рассматривая твердотельно вращающиеся модели с чисто полоидальными полями, которые имеют либо только дипольную, либо квадрупольную структуру. Однако во всех случаях получилось, что меридиональные течения стремятся сконцентрировать полоидальные магнитные поля глубоко в недрах вращающейся звезды. Таким образом, расчеты Местела — Мосса дают

(кликните для просмотра скана)

возможность объяснить, почему у быстро вращающихся звезд спектрального класса А обычно не обнаруживается магнитного поля (ср. с разд. 15.3), а также, почему последние наблюдения указывают на антикорреляцию между скоростью вращения и эффективным магнитным полем у пекулярных звезд класса (см. разд. 15.4).

Допущение 4. Могут ли на вращающейся звезде существовать стационарные меридиональные течения, если пренебречь вязким трением и магнитными полями? Строго говоря, нет. Вот два аргумента, которые выдвинул Рандерс в 1941 г. Во-первых, согласно уравнению (12), эти течения должны следовать вдоль поверхностей Поскольку линии тока стационарной циркуляции замкнуты, это значит, что величина обязательно достигает максимума в какой-то внутренней точке. Из этого в свою очередь следует, что в звезде существуют области, в которых убывает наружу, а как было показано в разд. 7.3, такие области будут динамически неустойчивы! Во-вторых, меридиональные течения не могут пересекать плоскость не нарушая допущения об экваториальной симметрии. Следовательно, на экваториальном радиусе в меридиональной плоскости величина постоянна. Поскольку радиус начинается от оси вращения, то это постоянное значение равно нулю. Но продолжением этой изолинии с внешней стороны служит сама поверхность, так как течения следуют вдоль границы. Поэтому приходится сделать вывод, что на поверхности звезды, а это означает, что внешняя граница вообще не вращается!

Принимая во внимание эти две трудности, мы видим, что в возмущенной вращением немагнитной невязкой звезде не могут существовать стационарные меридиональные течения. Поэтому Осаки рассмотрел эвристически нестационарные течения в лучистых зонах вращающейся звезды, учитывая эффект эволюции угловой скорости со временем [ср. с уравнениями (1) — (9)]. Решающую роль в этих рассуждениях играют два уравнения: уравнение (8), которым мы заменяем теперь уравнение (51) или (61), и уравнение (4), принимающее вид

где энтропия на единицу массы [ср. с разд. 3.4, уравнение (65)]. Осаки не решал эти нестационарные уравнения для какой-либо конкретной модели, а сделал несколько умозрительных замечаний, которые мы вкратце перечислим. Во-первых, при обычном подходе, изложенном в разд. 8.2, энергия, переносимая меридиональными течениями, приравнивается избытку или дефициту лучистого потока (т.е. Установлено, что это приближение справедливо для медленно вращающихся звезд в основном объеме их лучистых зон Во-вторых, если стратификация плотности почти нейтральна а вращение не слишком быстрое, то уравнение энергии (67) сводится к уравнению

теплопроводности Другими словами, избыток или дефицит лучистого потока приводит в основном к локальному разогреву или охлаждению. Кроме того, в этом случае скорость циркуляции никогда не стремится к бесконечности (даже при ее верхний предел определяется условием Согласно Осаки, за время Кельвина — Гельмгольца звезда придет затем в состояние точного теплового равновесия причем угловая скорость перераспределится так, что в конечном состоянии меридиональной циркуляции не будет. -третьих, аналогичное рассуждение, основанное на оценке порядков величин, показывает, что поверхностные слои также стремятся к состоянию теплового равновесия за свое характерное тепловое время. -четвертых, поскольку стационарные законы вращения вида в химически однородной звезде неизбежно нарушаются из-за тепловой неустойчивости (ср. с разд. 7.4), Осаки высказывает предположение, что установится новое стационарное состояние, в котором меридиональные течения и нерегулярные движения, возникающие за счет тепловой неустойчивости, уравновешивают друг друга.

Чтобы усилить количественную сторону такого подхода, нужно численно проинтегрировать нестационарные уравнения (1) — (6), отправляясь от начального состояния вращения и учитывая изменение химического состава вследствие ядерных реакций. Упомянем в этой связи работу Сакураи, в которой он рассматривает эволюцию во времени вращения внутренних областей Солнца под действием меридиональной циркуляции. В частности, Сакураи удалось показать, что особенность в циркуляционной скорости на границе между лучистой и конвективной областями можно устранить, если допустить, что угловая скорость нестационарна.

Допущение 5. Предыдущие результаты получены при явном предположении, что химический состав или средняя атомная масса остаются неизменными. Другими словами, до сих пор мы не принимали во внимание возможность перемешивания внутренних и внешних слоев посредством меридиональных течений, порожденных вращением. С помощью оценки характерного времени по формуле (49) Свит показал, что эти течения слишком медленны, чтобы вызывать сколь-нибудь заметные эффекты в лучистых зонах звезд поздних спектральных классов (таких, как Солнце), и потому для этих звезд перемешиванием за счет вращения, несомненно, можно пренебречь. Опираясь на те же доводы, Свит пришел к заключению, что звезды верхней части главной последовательности хорошо перемешаны, поскольку циркуляция в однородных звездах достаточно быстрая, чтобы за время их жизни вещество могло много раз покинуть конвективное ядро и вернуться в него. Однако Местел показал, что этот вывод нуждается в серьезном пересмотре. В этом можно убедиться так. Вещество выносится из ядра, производящего энергию, в разные эпохи. Поэтому средняя атомная масса в момент точке х лучистой зоны равна в ядре в более ранний момент где время течения от ядра до точки х. Но, поскольку зависит от положения, установится распределение

средней атомной массы, отличающееся от сферичного. Это в свою очередь породит -токи», подобно тому, как возмущение, вызванное вращением, порождает первичную меридиональную циркуляцию. Такие -токи будут сильно возмущать поле температур и тем самым оказывать обратное влияние на скорости течения. Таким образом, необходимо изучить -токи, чтобы решить, будут ли они ослаблять или усиливать меридиональную циркуляцию.

Впервые эту проблему рассмотрел Месте который взял для определенности лучистую оболочку модели Каулинга с точечным источником. При помощи линейного анализа течений, вызванных вращением и неоднородностью ему удалось показать, что скорости -токов всегда направлены против циркуляционных скоростей вблизи поверхности конвективного ядра, поэтому меридиональная циркуляция сдерживается. Фактически, чтобы скорости течения, вызванного вращением, в твердотельно вращающейся модели могли преодолеть это сдерживающее влияние (так называемый -барьер), требуется, чтобы на экваторе центробежная сила у поверхности уравновешивала силу тяжести. Отсюда следует, что, хотя в оболочке однородно вращающейся модели и циркулируют течения, обусловленные вращением, вблизи границы ядра они отклоняются так, что никакого перемешивания между ядром и оболочкой происходить не может. Однако, согласно Местелу, если угловая скорость существенно увеличивается с глубиной, то меридиональная циркуляция будет усиливаться и сдерживающего влияния -токов будет уже недостаточно, чтобы воспрепятствовать перемешиванию между ядром и остальными областями звезды. Местел считает, что циркуляция преодолевает сдерживающее влияние градиента химического состава, только если на границе ядра отношение а центробежной силы к силе тяжести на экваторе больше а Другими словами, если на границе ядра , то перемешивание вследствие вращения будет эффективно обеспечивать однородность химического состава звезды. Сопоставление этих результатов с наблюдаемыми эволюционными треками на диаграмме Герцшпрунга — Рессела наводит на мысль, что для большинства звезд верхней части главной последовательности сильное увеличение угловой скорости с глубиной исключено.

Роль -токов и способность небольшого градиента подавлять течения, порожденные вращением, исследовал и Мак-Дональд. Оказалось, что в медленно вращающихся звездах, лучистые зоны которых приблизительно химически однородны, малый градиент способен подавить циркуляцию. Согласно Мак-Дональду, меридиональные течения не могли бы подавить сильное дифференциальное вращение Солнца, если бы существовала стратификация с неоднородностью порядка нескольких тысячных долей. Звезды верхней части главной последовательности пока еще не рассматривались подобным образом с количественной точки зрения.