6.7. ТЕОРЕМА ВИРИАЛА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Для описания движений самогравитирующей системы вместо общих уравнений гидродинамики можно применять эквивалентные им вириальные уравнения (см. разд. 3.7). Вириальный метод интересен главным образом тем, что позволяет приближенно представить малые отклонения от состояния стационарного вращения, Если из скалярной теоремы вириала мы получаем простое описание самой низкой акустической моды (41), то вириальные уравнения второго порядка охватывают движения, которые в предельном случае отсутствия вращения соответствуют радиальной моде (41) и пяти -модам (37). Подобным же образом вириальные уравнения третьего порядка описывают движения, которые в предельном случае невращающегося тела сводятся к модам, соответствующим сферическим гармоникам первого и третьего порядков (см. разд. 14.5). Уравнения более высоких порядков естественно приводят к модам более высокого порядка, однако такой путь быстро становится практически неосуществимым. Вириальным методом широко пользовались Чандрасекар и Лебовиц.

Прежде чем заниматься линеаризованными вириальными уравнениями, рассмотрим изменение которое мы обнаружим, сравнив в момент значения интеграла

в возмущенном и невозмущенном течениях (см. разд. 6.2). Ясно, что элементу массы который в невозмущенном течении находится в точке х, в реальном течении соответствует его образ, занимающий положение Поэтому в силу формул (2) и (6) имеем

с учетом сохранения массы. Из тех же соображений можно написать

[см. разд. 3.3, уравнение (23)]. Таким образом, формулы (94) и (95) позволяют интегрировать по равновесному объему У. Мы сохраним обозначение и в дальнейшем. Наконец, заметим, что операции всегда коммутативны.

Рассмотрим теперь баротропу или псевдобаротропу в состоянии стационарного вращения (см. разд. 4.3). Далее для удобства мы будем пользоваться декартовой системой координат Тогда компоненты скорости в инерциальной системе отсчета имеют вид

где подставляя эти выражения в вириальные уравнения

второго порядка, получаем

где по определению

т.е. пропорционально кинетической энергии; остальные символы имеют обычный смысл (см. разд. 3.7). Наконец, помимо «среднего квадрата угловой скорости» нам понадобится величина

которая пропорциональна полному моменту количества движения вращающейся конфигурации.

Предположим теперь, что равновесие слегка нарушено. Тогда из вириальных уравнений второго порядка

а также из уравнения (94) без труда получаем

Из формул (4), (95) и (96) следует

Поэтому интегралы от и входящие в (102), можно сразу же выразить через интегралы по и Аналогично можно

написать

где

Имеем также

причем мы воспользовались здесь уравнениями (14), (16) и (94). Подставляя выражения (103) — (107) в уравнение (102), получаем, наконец, уравнение

которое связывает смещение с величинами, определяемыми лишь известным равновесным внутренним строением.

Уравнение (108) является точным интегральным соотношением, которое должно быть справедливо для всевозможных возмущений с малой амплитудой; ему, в частности, должны удовлетворять и собственные решения, принадлежащие к нормальным модам колебаний (33). Так что, подставляя вместо «пробную» функцию от пространственных переменных вида (87), мы должны получить уравнения для нахождения частот с некоторой степенью точности. Действительно, можно показать, что вириальный метод второго порядка эквивалентен вариационному методу первого порядка. Тем не менее теперь мы не можем пользоваться «пробными» функциями с любым желаемым числом параметров: в самом деле, уравнение (108) дает девять соотношений, поэтому и произвольных коэффициентов, входящих в «пробное» смещение, которое мы хотели бы подставить, должно быть тоже девять. Предположим теперь, что в первом приближений лагранжево смещение можно адекватно представить функцией

где — девять коэффициентов, которые в собственно вариационном методе играют роль вариационных параметров. И действительно, как показали Чандрасекар и Лебовиц, функция (109) соответствует точному решению в случае газовой конфигурации с постоянными плотностью и угловой скоростью т.е. в случае сжимаемого сфероида Маклорена (см. разд. 4.5). Поэтому ясно, что чем более неоднородно распределение угловой скорости и массы, тем больше ошибка в частотах. Так или иначе, с качественной стороны результатам можно доверять.

Подставляя формулу (109) в уравнение (108), мы получаем девять однородных уравнений с девятью неизвестными В частном случае 00 эти уравнения дают девять характеристических частот: однократный корень (41), соответствующий чисто радиальному движению; пятикратный корень (37), соответствующий сферическим гармоникам с формулой трехкратный корень где каждый из этих трех корней описывает бесконечно малое вращение вокруг осей соответственно (см. примечание на стр. 121). Обратившись затем к вращающимся телам, мы найдем, что вращение отчасти снимает вырождение собственных частот; в самом деле, теперь мы обнаруживаем семь различных квадратов частоты и двукратный корень Конкретно, формулы (108) и (109) дают возможность найти частоты, которые соответствуют зональным, тессеральным и секториальным модам соответственно. Рассмотрим эти моды поочередно.

Тессеральные моды. Этим движениям свойственно смещение вида

где мы опускаем зависящий от времени множитель Из формул (110) следует, что эти колебания характеризуются сдвигом северного и южного полушарий относительно друг друга. Таким образом, эти движения антисимметричны относительно экваториальной плоскости. Соответствующее вековое уравнение имеет вид

где

при этом в самом общем виде можно определить

Вследствие наших предположений эти частоты не зависят от сжимаемости конфигурации. Отбрасывая тривиальный корень мы получаем два кубических уравнения

Наличие двух знаков означает, что шесть частот, которые получаются из этих уравнений, имеют дублетный характер, причем играют эквивалентные роли. Все тессеральные моды описывают устойчивые

колебания: и еще два квадрата корней, которые в случае сферической системы сводятся к -модам (37), принадлежащим к тессеральным гармоникам разд. 10.4).

Секториальные моды. Главная особенность этих колебаний в том, что они преобразуют вращающуюся модель в истинно трехосное тело, сохраняя при этом его плоскость симметрии; все движения сосредоточены в плоскостях, параллельных экваториальной. Опуская множитель имеем

Четыре соответствующие частоты колебаний также имеют дублетный характер, так что можно написать

где

Очевидно, при сделанных предположениях секториальные моды не зависят от Показателя адиабаты. В предельном случае, когда вращения нет, они сводятся к -модам (37), принадлежащим к секториальным гармоникам Далее, из соотношения (116) немедленно следует, что обращается в нуль, если

кроме того, все решения соответствуют устойчивым колебаниям, тогда и только тогда, когда а

Как будет показано в разд. 10.4, появление нейтральной моды совпадает с ответвлением трехосных конфигураций, когда вдоль последовательности вращающихся моделей. Таким образом, если вдоль последовательности может достигаться предел (118), то эта нейтральная мода просто переводит осесимметричное тело в соседнее равновесное состояние, обладающее точной симметрией относительно трех плоскостей.

Зональные моды. Шесть значений квадрата частоты теперь описаны. Оставшиеся три значения соответствуют смещению

где множитель как и выше, опущен. Ясно, что это пульсации, которые сохраняют как зеркальную, так и осевую симметрию конфигурации. Помимо тривиального корня соответствующего бесконечно медленному вращению вокруг оси имеем

где

Если вращения нет, то два квадрата корней (121) легко отождествить: один соответствует -моде, принадлежащей зональной гармонике [см. формулу (37)], а другой вырождается в самую низкую радиальную моду (41). Отметим, что вращение связывает две зональные моды (121) и что обе они сильно зависят от сжимаемости системы. Дальнейшие выводы из исследования этих осесимметричных движений будут сделаны в разд. 14.2.