1.3. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ЖИДКОСТИ

История исследований влияния вращения на внутреннее строение и эволюцию звезд весьма продолжительна. Первым, кто осознал важную роль закона тяготения для объяснения формы небесных тел, был сэр Исаак Ньютон (1643 - 1727). В Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Книга Ш, Предложения 18 - 20, 1687) он впервые разбирал вопрос о фигуре Земли, рассматривая ее как однородный слегка сплюснутый сфероид, который вращается с постоянной угловой скоростью. Предположив, что этот сфероид является фигурой равновесия, Ньютон утверждал, что вес столбов жидкости в каждом из двух взаимно перпендикулярных колодцев, прорытых от полюса и с экватора до центра Земли, должен быть одинаковым. Как следствие из этого условия он вывел соотношение между сплюснутостью меридионального сечения и отношением центробежной силы на экваторе к (средней) силе тяготения на поверхности.

Следующий шаг сделал Христиан Гюйгенс (1629 — 1695) в своем Discours de la cause de la pesanteur, опубликованном в Лейдене в 1690 г. Ему

мы обязаны формулировкой необходимого условия относительного равновесия вращающейся жидкости: равнодействующая силы тяготения и центробежной силы в любой точке свободной поверхности направлена по нормали к поверхности в этой точке. Гюйгенс не признавал, что соседние материальные частицы притягивают одна другую, но допускал существование силы тяготения, направленной все время к фиксированной точке. В соответствии с этим в одной из моделей он предполагал, что сила тяготения Земли — это единая центральная сила, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра. Отсюда с помощью ньютоновского принципа уравновешенных столбов жидкости Гюйгенс вывел в своей модели соотношение в случае малого отклонения от сферичности. Как теперь известно, этот результат равносилен условию бесконечной плотности в центре Земли; его следует сравнить с работой Ньютона, где Земля считалась однородной. В действительности измеряемое для Земли значение заключено между значениями, которые вывели в своих экстремальных моделях Ньютон и Гюйгенс.

Несмотря на то что из идей Ньютона в конечном счете возникла современная механика, эти идеи не сразу были приняты в Европе. В первой половине XVIII в. многие европейские ученые были твердыми сторонниками вихревой теории, выдвинутой в 1644 г. Рене Декартом (1596 — 1650). Картезианцы отвергали ньютоновские идеи в основном потому, что понятие тяготения как первопричины движения казалось непостижимым. Кроме того, из их систем вихрей каким-то образом выходило, что Земля должна быть вытянута у полюсов. Чтобы разрешить спор картезианцев с ньютонианцами и измерить длину дуги меридиана, в 1730-х годах в различные части планеты были отправлены геодезические экспедиции. Первой возвратилась экспедиция, проводившая измерения в Лапландии и подтвердившая, что в действительности Земля сплюснута у полюсов. Руководитель этой экспедиции — Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698 - 1759) - первый француз, осмелившийся открыто назваться ньютонианцем, получил прозвище «великий сплющиватель». Тогда вихревая теория и потерпела окончательное поражение.

Весьма существенный вклад в эту область науки внесли в 1737 - 1743 гг. Алекси Клод Клеро (1713 — 1765) в Париже и Колин Маклорен (1698 — 1746) в Эдинбурге. Чтобы должным образом оценить важность их открытий, стоит вспомнить, что гидростатика как наука находилась в то время в зачаточном состоянии. Фактически в этих ранних работах еще отсутствовало ясное представление о внутреннем давлении. Поэтому при доказательстве того или иного утверждения Клеро и Маклорену приходилось опираться либо на ньютоновский принцип уравновешенных столбов жидкости, либо на гюйгенсовский принцип линии отвеса, либо на оба вместе. Отметим, что необходимые и достаточные условия гидростатического равновесия не были известны до 1755 г., когда Леонард Эйлер (1707 — 1783)

окончательно вывел общие уравнения движения для невязкой жидкости.

Как мы уже отмечали, Ньютон принимал без доказательства, что для медленно вращающейся жидкости возможной фигурой равновесия является сплюснутый сфероид. В 1737 г. Клеро получил выражение для силы тяготения в любой точке поверхности однородного сфероида в том случае, когда он несильно отличается от сферы. Затем в первом порядке по сплюснутости он показал, что в каждой точке свободной поверхности ньютоновской модели соблюдается гюйгенсовский принцип линии отвеса.

В 1740 г. Маклорен обобщил этот результат, полностью решив задачу для однородного сфероида, форма которого заметно отличается от сферической. С помощью все того же ньютоновского принципа уравновешенных столбов он доказал, что фигурой относительного равновесия может служить любой сплюснутый сфероид. Кроме того, ему удалось найти связь между угловой скоростью вращения и сплюснутостью меридионального сечения. Наконец, он показал, что линия отвеса перпендикулярна свободной поверхности в каждой ее точке. Маклорен ввел также фундаментальное понятие уровенной поверхности, установив, что на любой глубине результирующая объемная сила всегда направлена по нормали к некоторой поверхности, принадлежащей к семейству подобных сфероидов.

Обратимся теперь к блестящему трактату Клеро, ТНёоНе de la figure de la ter re, опубликованному в 1743 г. Самой интересной для нас является та часть книги, в которой изучаются фигуры равновесия медленно вращающихся неоднородных тел — проблема, которую никто до той поры почти не затрагивал. Клеро рассмотрел самогравитирующую конфигурацию, состоящую из квазисферических слоев различной плотности. В этих предположениях он показал, что уровенные поверхности должны совпадать с поверхностями равной плотности. Затем, применяя гюйгенсовский принцип линии отвеса к каждой уровенной поверхности, он доказал, что сплюснутые сфероиды удовлетворяют условиям относительного равновесия, и вывел уравнение, связывающее переменную сплюснутость слоев с их плотностью. Наконец, в первом порядке по сплюснутости он показал, что эффективная сила тяжести на поверхности уменьшается при движении от полюсов к экватору как квадрат косинуса широты.

Хотя все основные идеи общей теории вращающихся тел были выдвинуты в пионерских работах этих исследователей, самый большой вклад в эту область знания внесли маркиз Пьер Симон де Лаплас (1749 — 1827) и Адриен Мари Лежандр (1752 — 1833) в период с 1773 по 1793 г. Именно Лежандру принадлежит понятие гравитационного потенциала и общая теория

притяжения однородного эллипсоида. Многочлены, которые носят теперь его имя, он ввел как раз в ходе этой работы. Мысль о том, что уровенные поверхности твердотельно вращающегося тела можно определить как такие поверхности, на которых сумма гравитационного и центробежного потенциалов постоянна, исходит также от Лежандра. С помощью этого условия ему удалось довести теорию Клеро до ее современного вида и доказать, что, когда отличия от сферичности невелики, слои должны иметь вид сплюснутых сфероидов. Что касается Лапласа, то, работая над данной проблемой, он ввел сферические гармоники и дифференциальное уравнение, которое с тех пор носит его имя. Он же впервые доказал хорошо известную теорему, что в твердотельно вращающейся фигуре равновесия уровенные поверхности совпадают как с поверхностями равного давления, так и с поверхностями равной плотности. Побочным результатом исследований Лапласом уравнения Клеро было введенное им в 1825 г. понятие баротропы; к тому же он рассмотрел и нашел явное решение для сферической политропы показателя

Все упомянутые результаты Лаплас включил во внушительный труд (1799 — 1825), в котором, к сожалению, он нередко забывал воздавать должное важным заслугам своего коллеги Лежандра. Дифференциальное уравнение, которое связывает гравитационный потенциал во внутренней точке тела с плотностью в ней, впервые вывел в 1829 г. Симеон Дени Пуассон (1781 — 1840). Оно стало обязательной составной частью теории самогравитирующих тел.

В 1834 г. Карл Якоби (1804 — 1851) сделал новое важное открытие, обнаружив, что допустимыми фигурами равновесия бывают не только конфигурации с осевой симметрией. Якоби привел убедительные свидетельства в пользу того, что одной из форм относительного равновесия у вращающихся тел может быть однородный эллипсоид с тремя неравными осями. В том же году Жозеф Лиувилль (1809 — 1882) опубликовал аналитическое доказательство этого утверждения, а в 1843 г. впервые описал свойства эти эллипсоидов в зависимости от момента количества движения. К то-му времени было уже известно, что с увеличением момента количества движения от нуля до бесконечности сфероиды Маклорена видоизменяются от сферы до бесконечно тонкого диска. Что же касается эллипсоидов Якоби, форма которых меняется от конфигурации с осевой симметрией до бесконечно длинной спицы, то Лиувилль установил, что они могут представлять собой фигуры равновесия, только если момент количества движения превышает определенный предел.

Дальше продвинуться в решении проблемы удалось только тогда, когда

независимо друг от друга ею занялись Александр Михайлович Ляпунов (1857 — 1918) и Анри Пуанкаре (1854 — 1912). Заслугой Пуанкаре было создание общей теории равновесия и устойчивости эллипсоидальных форм, ему же принадлежит понятие фигур бифуркации. В частности, он доказал существование грушевидных фигур, которые ответвляются от последовательности эллипсоидов Якоби. Надо сказать, что годом раньше, в 1884 г., эти грушевидные фигуры были открыты Ляпуновым. К сожалению, результаты русского математика оставались почти неизвестными западным ученым, до тех пор пока его работы не были переведены на французский язык по просьбе самого Пуанкаре. Открытие этих фигур Ляпунова — Пуанкаре явилось стимулом для многочисленных исследований, поскольку возникло предположение, что в конечном счете они могут распадаться на два отдельных тела, обращающихся одно вокруг другого. Такая теория происхождения двойных звезд впервые была выдвинута в 1883 г. лордом Кельвином (Уильям Томсон, 1824 — 1907) и Питером Гут-ри Тейтом (1831 - 1901). В 1920-х годах самым горячим ее сторонником был сэр Джеймс Хопвуд Джинс (1877 — 1946). Критический разбор этой теории мы дадим в разд. 11.3.

Много важных открытий, правда, привлекших меньше внимания, было сделано в период с 1885 по 1935 г. и относительно центрально конденсированных тел с большим отклонением от сферической симметрии. В самом деле, стратификация быстро вращающегося неоднородного тела никогда заранее не известна и определять ее нужно из условий относительного равновесия. С помощью метода последовательных приближений Ляпунов первым развил точную теорию неоднородных тел, уровенные поверхности которых лишь слегка отличаются от гомоцентрических эллипсоидов. Эта работа — бесспорный шедевр в области функционального анализа, тем не менее ее очень трудно использовать в исследовательской практике. Поэтому Леон Лихтенштейн (1878 — 1933) в Берлине и Лейпциге и Ролен Вавр (1896 — 1949) в Женеве предложили другие способы. По большей части все они ныне уступили место численным методам, однако с их помощью были доказаны некоторые фундаментальные теоремы, которые лежат в основе теории быстро вращающихся центрально конденсированных тел. Особо отметим глубокие работы по дифференциальному вращению французского математика Пьера Дива. Однако к середине тридцатых годов исследования такого рода вышли из моды, и на все эти классические результаты почти никто не обращал внимания на протяжении последних сорока лет. Мы вновь вернемся к ним в гл. 4.