4.5. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА

С чисто механической точки зрения точный вид конкретной модели со стационарным вращением зависит от трех величин: полной массы полного момента количества движения и выбранного распределения момента количества движения на единицу массы Рассмотрим теперь фиксированное значение и данное поле вращения и построим последовательность моделей, вдоль которой увеличивается. Какая величина помимо служит нааболее удобным параметром, характеризующим главные свойства

модели в последовательности? В случае сфероида мы, естественно, могли бы воспользоваться эксцентриситетом меридионального сечения; однако сфероид не очень подходит, если речь идет об объекте, граница которого определена численно. Можно было бы использовать экваториальную угловую скорость но это опять-таки не самый удачный выбор, поскольку не всегда монотонно увеличивается с ростом Еще один параметр — это отношение кинетической энергии вращения К к потенциальной энергии гравитации

где

Согласно скалярной теореме вириала, имеем

(см. разд. 3.7). Поскольку интеграл от давления по объему — величина неотрицательная, можно написать

Разумеется, на этом этапе мы не знаем a priori, будет ли вся область значений заполнена соответствующими моделями.

Чтобы оправдать наш выбор в качестве удобного параметра, проиллюстрируем проблему на примере твердотельно вращающихся однородных сфероидов, т.е. сфероидов Маклорена. Существование их было доказано в предыдущем разделе; их параметры легко вычисляются, так как сила тяготения однородного сфероида хорошо известна. Имеем

где

Эксцентриситет равен

где две полуоси меридионального сечения И сила тяготения, и центробежная сила являются линейными функциями по координатам. Отсюда в силу уравнений (9) и (10) давление записывается в

квадратичной форме:

Этот результат согласуется с уравнением (39). Мы также имеем

где На рис. 4.1 показано поведение а на рис. в зависимости от (см. также приложение Г). Эксцентриситет и сплюснутость изменяются от нуля до единицы, увеличивается от нуля до бесконечности. Таким образом, модели можно построить для любых значений они проходят диапазон от сферы до бесконечно плоского диска. В зависимости от величина сначала возрастает, затем

Рис. 4.1. Эксцентриситет и сплюснутость вдоль последовательности сфероидов Маклорена в зависимости от отношения (См. также приложение

Рис. 4.2. Квадрат угловой скорости и полный момент количества движения вдоль последовательности сфероидов Маклорена в зависимости от отношения Единицы измерения определены в соотношениях (52) и (54). Левая ось ординат относится к а правая — к (См. также приложение

достигает максимума и далее монотонно убывает вдоль последовательности.

Как мы увидим в гл. 10 — 13, сфероиды Маклорена хорошо имитируют все основные свойства последовательностей дифференциально вращающихся центрально конденсированных баротроп. Напротив, последовательности моделей звезд с твердотельным вращением обычно обрываются задолго до того, как достигается предел В обоих случаях угловая скорость никогда не увеличивается от нуля до бесконечности. Предвидя такие результаты, мы хотим уже сейчас, еще не зная заранее деталей строения модели, найти верхний предел угловой скорости.

Рассмотрим звезду, вращающуюся как твердое тело, распределение массы которой в остальном не будем уточнять. Интегрирование уравнения (31) по всему объему дает:

[При выводе выражения (55) мы воспользовались следующими соотношениями:

где внешняя нормаль к поверхности. Ясно, что для равновесия необходимо условие, чтобы в каждой точке поверхности эффективная сила тяжести была направлена внутрь. Таким образом, должно выполняться соотношение

или вследствие (55)

средняя плотность Неравенство (58) впервые вывел Пуанкаре в 1885 г.

Много усилий было потрачено на его уточнение. В аналогичных предположениях Крудели и Никлиборц доказали, что

(где - плостность в центре), если принять, что в направлении от центра монотонно убывает. Ясно, что в случае ограничение на О (59) слабее, чем в неравенстве (58). В 1959 г. Квилгини получил новый предел

который определенно лучше прежних, но все еще значительно превышает максимальное значение для сфероидов Маклорена, т.е.

Обратимся далее к баротропам и псевдобаротропам, находящимся в состоянии дифференциального вращения; разумеется, нам следует использовать формулу (20). Тогда вместо уравнения (31) получаем

а неравенство (58) преобразуется к виду

Этот критерий найден Вильчинским. Можно также показать, что для любой дифференциально вращающейся звезды

Величины и это соответственно наименьшее и наибольшее значения на поверхности; аналогично, и экстремальные значения 101 на поверхности, а площадь поверхности Эти пределы вывел Див.