8.4. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ЗВЕЗДАХ: КРАТКИЙ ОБЗОР

До сих пор мы неявно предполагали, что все смещения внутри звезды характеризуются плавным ламинарным движением слоев. Однако, как

известно из лабораторных опытов, имеется другой тип движения, а именно движение, по своей природе нерегулярное, с поперечными вихрями, размер и скорость которых меняются в широком диапазоне. Оно называется турбулентным течением, и его можно рассматривать как нестационарное поле скоростей с флуктуациями, которое накладывается на картину ламинарного осредненного течения. В сущности, большинство встречающихся в природе течений чаще всего бывает турбулентным (например, пограничный слой земной атмосферы, глубоководные течения в океанах, атмосферы звезд, межзвездные газовые облака и т. д.). Как мы увидим, простые теоретические рассуждения показывают, что в недрах звезд турбулентные движения также должны играть важную роль. Поскольку этой проблеме уделялось до сих пор очень мало внимания, для нашей цели будет достаточно краткого обзора турбулентности.

Лабораторные опыты показывают, что в несжимаемой жидкости переход от ламинарного режима к турбулентному зависит только от числа Рейнольдса

которое служит мерой величины сил инерции в потоке относительно вязких сил. Здесь характерная скорость осредненного течения жидкости, характерный для данной задачи размер, коэффициент сдвиговой вязкости. Турбулентные течения шозникают, как только число Рейнольдса превысит некоторое критическое значение, скажем Это критическое число не является универсальной константой, оно принимает различные значения для каждого типа течения. (Ламинарное течение в трубе обычно становится турбулентным при Этим объясняется, почему движения жидкости в системах больших размеров при малой вязкости по большей части турбулентны. Однако применять этот критерий к звездам следует с осторожностью, поскольку физические условия в недрах звезд весьма далеки от лабораторных. Так, например, если турбулентные движения возникают в лучистой зоне вращающейся звезды, то можно ожидать, что турбулентность окажется послойной, когда нерегулярные движения в основном направлены вдоль поверхностей постоянной плотности. Несмотря на то что для звезды точный критерий неизвестен, многое можно понять по изучению движений воздуха вблизи земли. В этом случае конвективно устойчивая стратификация воздуха может подавить турбулентные движения горизонтального ветра при больших числах Рейнольдса. Такой эффект устойчивого распределения энтропии проявляется в зависимости от числа Ричардсона

которое можно определить как отношение плавучести к силам инерции. Здесь профиль скорости поперечен к вертикальному направлению а положительный градиент энтропии зависит только от высоты Измерения в нижней атмосфере, проведенные в Брукхейвенской национальной лаборатории (о. Лонг-Айленд, шт. Нью-Йорк), указывают,

по-видимому, на то, что при турбулентности нет, но при воздух всегда турбулентен. (Согласно теории, необходимым условием неустойчивости малых возмущений в невязком течении со сдвигом является Однако, как показал Таунсенд, лучистый перенос может свести на нет стабилизирующее влияние стратификации. Причина этого состоит в том, что, сглаживая различия температуры, лучистая диффузия тепловой энергии подавляет флуктуации плотности, снижая тем самым стабилизирующее влияние плавучести. Цан получил грубую оценку этого эффекта во вращающихся звездах, но точный критерий пока не известен.

Турбулентные движения всегда диссипативны, другими словами, они не могут поддерживаться сами по себе, а должны черпать энергию из окружающей среды. Турбулентность возникает либо в результате роста малых возмущений в ламинарном потоке, либо как следствие конвективной неустойчивости движения. В первом случае кинетическая энергия турбулентности извлекается из кинетической энергии осредненного течения, во втором — из потенциальной энергии исходного состояния. Во внутренних слоях звезд встречаются оба типа турбулентности. Что касается этих слоев, самое важное свойство турбулентности — это ее способность вызывать быстрое перемешивание и увеличение скоростей переноса импульса, тепла и массы. Так, скорости турбулентного переноса и перемешивания на несколько порядков величины больше, чем скорости, обусловленные молекулярной (и лучистой) диффузией. Однако, поскольку турбулентность является свойством течений жидкости, а не самой жидкости, механизм обмена импульсом за счет турбулентности лишь отдаленно напоминает молекулярный обмен импульсом. Тем не менее по аналогии с молекулярной диффузией, приводящей к понятию вязкости, обмен импульсом за счет турбулентности в астрофизике часто представляют при помощи турбулентной вязкости. Кратко рассмотрим эту аналогию.

Поскольку полностью сформировавшаяся турбулентность состоит из случайных флуктуаций, наложенных на ламинарное течение, все физические величины удобно представить в виде суммы их средних значений и флуктуаций с нулевым средним. Следуя Рейнольдсу, выведем уравнения, которым удовлетворяют эти средние значения (такие, как ) в каждой точке. Предполагая, что осредненное течение стационарно, можно написать

и аналогичные выражения для остальных переменных. Под мы понимаем здесь среднее по времени

которое вследствие стационарности осредненного течения не зависит от момента По определению компоненты средней скорости задаются формулой

таким образом, имеем

так что в среднем переноса массы за счет турбулентности не происходит. Следовательно, для стационарного осредненного течения остается справедливым уравнение (1) и можно написать

Рассмотрим теперь уравнения движения вязкой жидкости [ср. с разд. 3.3, уравнения (46) и (47)]. С учетом уравнения (1) эти уравнения можно переписать в таком виде:

Принимая, что турбулентность не влияет на объемную силу, и осредняя все члены в этих уравнениях, сразу же получим

поскольку операции осреднения и дифференцирования коммутативны. Тензорт — это осредненный тензор вязких напряжений, а компоненты тензора равны

Уравнения (76) — это (стационарные) уравнения Навье — Стокса, в которых все величины заменены их средними значениями и в которые добавлены напряжения Рейнольдса (77). Этот симметричный тензор описывает средний перенос флуктуирующего импульса за счет флуктуаций турбулентной скорости. Таким образом, обмен импульсом между турбулентностью и осредненным течением описывается членом несмотря на то что три компонента среднего импульса флуктуаций турбулентной скорости равны нулю. Если в звезде преобладают турбулентные движения, то средними вязкими напряжениями можно, как правило, пренебречь по сравнению с напряжениями Рейнольдса

При таком описании турбулентных движений главная проблема состоит в том, что в три компонента уравнения (76) входят шесть неизвестных величин — шесть независимых компонентов тензора Следуя Буссинеску, обычно принимают, что в недрах звезды турбулентные напряжения имеют тот же вид, что и вязкие напряжения в несжимаемой жидкости, причем коэффициент заменяется коэффициентом турбулентной вязкости

где среднеквадратичная скорость турбулентности, а так называемая длина перемешивания Прандтля. Следовательно, мы принимаем, что отдельные вихди могут, сохраняя свою индивидуальность, переместиться на расстояние а затем они вносят свой вклад в свойства среды в новом положении, где в конце концов и поглощаются. Эта эвристическая теория турбулентности в точности аналогична теории микроскопического переноса импульса частицами при наличии макроскопического градиента скорости. (В кинетической теории коэффициент сдвиговой вязкости по порядку величины равен где средняя тепловая скорость, средняя длина свободного пробега частиц.) Однако, даже если мы хотим принять понятие турбулентной вязкости, ситуация остается довольно сложной, так как просто свойства жидкости, а свойства течения. Это означает, что могут меняться от одной точки к другой, а потому коэффициент зависит от положения в потоке. На самом деле, хотя турбулентность состоит из флуктуирующих движений, охватывающих широкий спектр размеров, часто утверждалось, что большие вихри эффективнее переносят импульс, чем малые. Поэтому берут обычно пропорциональным размеру больших вихрей. Как правило, считается, что в недрах звезд длина перемешивания имеет порядок характерной шкалы давления Кроме того, поскольку в конвективно неустойчивой области турбулентные движения, вообще говоря, анизотропны, высказывалось предположение, что коэффициент турбулентной вязкости может быть не скаляром, а тензором [ср. с формулой (79)]. Изучением анизотропной вязкости в применении к внутренним слоям звезд много занимались Лебединский и Васютыньски. Ниже в разд. 8.5 и 9.2 мы рассмотрим различные следствия этого феноменологического подхода к турбулентности.