6.4. СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДЫ: КРАТКИЙ ОБЗОР

Несмотря на то что анализ нормальных мод обычно выявляет бесконечные ряды собственных частот, лишь немногие из этих колебаний по-настоящему интересны для теории вращающихся звезд. Прежде чем

Рис. 6.1. Искажение сферы (пунктир) за счет сферических гармоник низких порядков для также приложение В.)

заняться общей проблемой, целесообразно рассмотреть сферические звезды — это позволяет легко представить себе соответствующие движения.

В случае невращающейся звезды пространственные переменные разделяются с помощью сферических гармоник (см. рис. 6.1 и приложение В). В самом общем случае смещение в нормальных модах имеет три различных компонента; в сферических координатах радиальная часть смещения имеет вид

тогда как тангенциальные компоненты пропорциональны соответственно. Приращения др и выражаются по формуле, аналогичной (34). Вследствие центральной симметрии невращающейся звезды ее собственные частоты не зависят от так что каждому значению соответствует различное смещение. Кроме того, в этом случае квадрат частоты всегда действителен тем самым исключена возможность нарастания или затухания колебательных движений.

Для иллюстрации рассмотрим четыре типичные конфигурации: 1) однородную сжимаемую модель, т.е. самогравитирующий газовый шар постоянной плотности, 2) политропные сферы, т.е. баротропы, в которых мы задаем геометрическое соотношение вида где постоянные случай соответствует первой модели),

3) модель главной последовательности для звезды массой ядро которой, достигающее радиуса, находится в конвективном равновесии (химический состав: 4) составную политропу, которая имеет однородное ядро и лучистую оболочку

Следуя Каулингу, мы должны выделить три бесконечных дискретных

Рис. 6.2. (см. скан) Радиальное смещение -моды, соответствующей для различных политропных сфер Все смещения нормированы и равны единице при где радиус. (Robe Н. Ann. Ар., 31, 475, 1968.)

спектра собственных значений Изучим по порядку эти различные моды колебаний.

-моды. Как показал Кельвин в 1863 г., для несжимаемой жидкой сферы допустимы частоты колебаний

и соответствующие смещения

Эти моды описывают поверхностные волны, при которых сохраняется объем конфигурации; все эти моды устойчивы. (Ясно, что три гармоники, соответствующие нужно исключить из рассмотрения, поскольку они представляют смещение центра масс.) Аналогичный бесконечный дискретный спектр колебаний имеется и у сжимаемой звезды (рис. 6.2 и 6.5 и табл. 6.1 и 6.2). Хотя эти -моды уже не сохраняют объем, но тем не менее очень неплохо имитируют поверхностные волны на жидкой сфере. В частности, они малочувствительны к значению однородной сжимаемой модели решения (35) и (36) являются точными.) Чандрасекар и Лебовиц вывели приближенное значение для самой низкой частоты

где гравитационная потенциальная энергия и момент инерции относительно центра масс (см. разд. 3.7); для однородной сжимаемой модели формула (37) является точной. Из табл. следует, что отношение плотности в центре к средней плотности оказывает заметное влияние -моды. На рис. 6.2 изображено радиальное смещение пяти гармоник при для различных политроп. Обратите внимание на постепенное уменьшение амплитуд вблизи центра с ростом отношения при следует отметить появление узлов вдоль радиуса. Как показал Скюфлер, такое необычное поведение (свойственное также и -модам центрально конденсированных тел) вызвано тем, что в центральных областях сильно центрально конденсированных моделей и -моды похожи на -моды, а во внешних слоях этих моделей и -моды ведут себя как -моды.

-моды. Согласно Пекерису, однородный сжимаемый шар имеет собственные частоты:

где

(величина принимается здесь постоянной по всей модели). Эти решения иллюстрируют поведение неоднородных моделей, для которых нельзя записать аналитическое решение (табл. 6.1 и 6.2). Таким образом, для каждого значения I существует бесконечный дискретный спектр частот. Подробный анализ соответствующих собственных функций показывает, что радиальный компонент смещения преобладает над тангенциальными компонентами, а флуктуации давления существенны. В частности, при эти -моды (или акустические моды) становятся чисто радиальными Кроме того, в этом случае следует сохранить три гармоники для поскольку они не вызывают смещения центра масс (хотя и сдвигают геометрический центр системы!);

(см. скан)

этот результат, впервые доказанный Смейерсом, справедлив и для -мод, соответствующих ниже).

Нерадиальные -моды всегда устойчивы (см. рис. 6.5 и табл. 6.1 и 6.2). При умеренном росте плотности к центру число узлов вдоль радиуса по мере стремления к бесконечности регулярно увеличивается (см. однако, заключительные замечания об -модах). Таким образом, короткие периоды колебаний связаны с малыми длинами волн, т.е. с большими и большими V.

Особый интерес представляет радиальный спектр Формула (38) сводится в этом случае к

На рис. 6.3 изображены функции для политроп показателя Вообще говоря, радиальные смещения образуют полную систему ортогональных функций, и число узлов вдоль радиуса изменяется регулярно пропорционально Влияние отношения на моду самого низкого порядка показано на рис. 6.4 (ср. с рис. 6.2). Точно так же, как и для -мод, мы можем аппроксимировать самую низкую частоту следующим выражением:

где среднее значение показателя адиабаты, взвешенное по давлению. Соотношение (41) принадлежит Леду и Пекерису, если постоянная, то для однородной сжимаемой сферы оно выполняется строго.

Из формул (40) и (41) следует, что в самой низкой моде наступает неустойчивость, если оказывается меньше критического значения 4/3. В простом случае постоянного показателя адиабаты эта динамическая неустойчивость возникает потому, что полная энергия газовой сферы оказывается положительной при В самом деле, в наших предположениях где полная внутренняя

Рис. 6.3. Низшие радиальные моды пульсаций для сферической политропы Все смещения обращаются в единицу при где радиус сферы. С любезного разрешения др. Роуба.

Рис. 6.4. Фундаментальная мода радиальной пульсации для различных политропных сфер Все смещения нормированы и равны единице при где радиус сферы. Около каждой кривой указан соответствующий показатель политропы. С любезного разрешения др. Роуба.

энергия. Поскольку по скалярной теореме вириала (см. разд. 3.7), можно написать откуда следует, что положительно при Однако в реальной звезде все несколько сложнее. В этом случае зависит от а основным фактором, способствующим уменьшению среднего значения является лучистое давление. Тем не менее неустойчивость не может наступить за счет одного лишь лучистого давления, потому что предел никогда не достигается для конечной массы (см. разд. 3.4). Так или иначе, самая низкая радиальная мода массивных звезд всегда бывает на грани неустойчивости и поэтому небольшие отклонения от изоэнтропичности или ньютоновской механики могут способствовать росту этой моды (см. разд. 14.2 и 14.4).

-моды. Для простоты рассмотрим сначала политропы (с постоянным показателем адиабаты Из табл. 6.1 следует, что кроме мод, указанных

Рис. 6.5. Относительные смещения -моды и низших -мод, соответствующих для звезды главной последовательности с Функции нормированы на единицу при где радиус звезды.

выше, существуют колебания, устойчивость или неустойчивость которых определяется значением при эти моды становятся нейтральными В предельном случае для однородной сжимаемой модели) можно написать

где с формулой эти моды всегда неустойчивы Рассматривая соответствующие смещения, мы обнаруживаем, что тангенциальные компоненты превосходят теперь радиальную функцию кроме того, изменения давления относительно слабее, чем в -модах. Рассматриваемые моды вызваны фактически присущим гравитации естественным свойством сглаживать неоднородности вещества на уровенной поверхности поэтому их обычно называют -модами (или гравитационными модами). Следует отметить, что увеличивается с ростом и уменьшается с ростом Кроме того, при число узлов вдоль радиуса в этих возмущениях регулярно увеличивается по мере возрастания (см., однако, заключительные замечания об -модах). Следовательно, в рамках изоэнтропической теории особое внимание нужно уделить неустойчивым -модам, которые характеризуются малыми «горизонтальными» велико) и большими «вертикальными» мало) размерами. Однако на практике может оказаться, что наше замечание иллюзорно, поскольку диссипация и нелинейность в конечном счете сдерживают скорость роста этих неустойчивых движений.

Как показал впервые Каулинг, возникновение неустойчивых -мод в политропных шарах можно связать с тем, что квадрат локальной частоты Брунта — Вяйсяля

всюду отрицателен при это условие служит также условием сверхадибатичности падения температуры во всей политропе. Позднее Лебовиц доказал следующие общие утверждения: 1) если в сферической звезде строго больше нуля, то все квадраты частот

Рис. 6.6. Относительные смещения низших -мод, соответствующих для звезды главной последовательности с Функции нормированы на единицу при где радиус звезды. (Smeyers P. D.Sc, Thesis, Univ. of Liege, 1966.)

нерадиальных мод положительны (т.е. устойчивого типа), 2) если в некоторой сферической области, то существует хотя бы одно нерадиальное возмущение, которое растет со временем. Наконец, Эйзенфельд показал, что если всюду больше нуля и не обращается тождественно в нуль ни в каком сферическом слое, то нерадиальные моды образуют полную систему Следовательно, все нерадиальные возмущения устойчивы в том и только в том случае, если всюду в конфигурации градиент температуры субадиабатичен. Таким образом, основной причиной существования неустойчивых -мод являются конвективные течения. Из табл. 6.1 следует, что -моды всегда выступают совместно: если всюду отрицательно, то все они становятся неустойчивыми. Как и следовало ожидать из физических соображений, -моды строго устойчивы, если в ядре и в оболочке (см. табл. 6.2); однако в этом частном случае нули смещений локализованы в лучистой оболочке, а в ядре, находящемся в строгом конвективном равновесии, амплитуды экспоненциально уменьшаются (рис. 6.6).

Особенно интересно ведут себя -моды, если в ядре и в оболочке (рис. 6.7). Как показали впервые Леду и Смейерс, для каждого значения существуют два бесконечных дискретных спектра: устойчивые соответствующие гравитационным колебаниям в лучистой зоне, и неустойчивые которые описывают конвективные течения в ядре. Согласно этим авторам, каждое движение довольно строго локализовано в своей зоне, а в смежной области соответствующие амплитуды экспоненциально убывают. Последнее

Рис. 6.7. Относительные радиальные и тангенциальные смещения и -мод, соответствующих для составной модели с однородным ядром и политропной оболочкой при Левая ось ординат относится к неустойчивой -моде (штриховые линии); правая — к устойчивой -моде (сплошные линии). СLedoux РSmeyers P. C.R. Acad. Sci. Paris, 262В, 841, 1966. С разрешения Gauthier-Villars, Paris.)

свойство легко доказать для мод очень высокого порядка самом деле, полагая

мы можем приближенно записать уравнения движения в таком виде:

вблизи сферической поверхности, на которой меняет знак. Рассмотрим сначала -моды Из уравнения (45) замечаем, что его решения осциллируют по радиусу в области, где и экспоненциально убывают в смежной области. Для -мод ситуация противоположная. Однако, согласно Скюфлеру, -моды звезды могут быть осциллирующими только в конвективных зонах, тогда как -моды не убывают экспоненциально во внешних конвективных зонах проэволюционировавших звезд малой массы.

В общем случае можно показать также, что -моды распадаются на столько бесконечных дискретных спектров, сколько имеется сферических

слоев., в пределах которых сохраняет знак. В пределе мод очень высокого порядка для каждого слоя, который мы назовем, например, имеем

где константа с по порядку величины равна единице и зависит от выбранной области Таким образов, каждому сферическому слою, в котором локальная частота действительна, соответствует один устойчивый -спектр; напротив, в любой зоне, где чисто мнимо, все квадраты частот отрицательны. Кроме того, в силу уравнения движения (45) возмущения высоких порядков сосредоточены в основном в соответствующем им слое, а в смежной области (областях) экспоненциально убывают. Для иллюстрации этих результатов Гуссенс и Смейерс изучили три -спектра составных политропных моделей, которые включают две конвективно устойчивые области, разделенные конвективно неустойчивой зоной. Помимо -мод, связанных с промежуточной зоной, они обнаружили также два типа устойчивых -мод, один из которых связан главным образом с ядром, а другой — с внешней оболочкой. Правда, среди этих устойчивых мод они нашли также случайные «резонансы», порождающие устойчивые моды с заметной амплитудой в обеих областях устойчивости, вклад которых в собственные значения этих мод почти одинаков. Поскольку в асимптотическом анализе, приводящем к формуле (46), такой феномен не выявляется, требуются дальнейшие аналитические исследования, в которых рассматривалось бы, например, резонансное взаимодействие между двумя конвективными зонами, разделенными лучистым слоем — случай, который явно связан с изучением проникновения конвекции и перемешивания в реальных звездах.