10.2. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Чтобы лучше осветить некоторые стороны общей проблемы, уместно прежде всего перечислить основные свойства твердотельно вращающихся эллипсоидов. С этой целью рассмотрим конфигурацию, которая покоится относительно системы отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью Уравнения относительного равновесия в декартовой системе координат, вращающейся вокруг оси имеют вид

суммирования по повторяющимся индексам нет). В однородном эллипсоиде (с полуосями компоненты силы тяготения выглядят так:

где

а гравитационная постоянная. Отсюда в соответствии с формулой (4)

три уравнения (3) можно сразу проинтегрировать и получить

изобарические поверхности приобретают вид

Замечая, что граница эллипсоида

совпадает с одной из поверхностей, описываемых уравнением (8), находим

С учетом полученных соотношений имеем

Ясно, что первое из соотношений (12) выполняется лншь тогда, когда Если теперь воспользоваться соотношением (5), то уравнение (11) перепишется так:

Наконец, три равенства (12) приводят к следующим соотношениям:

при без этого ограничения получаем

а также подобное соотношение с заменой индекса 1 на индекс 2 и наоборот.

Из формулы (15) и ее невыписанного аналога прежде всего следует, что Таким образом, вращение всегда должно происходить вокруг наименьшей оси. Однако, поскольку между любыми двумя конфигурациями, в которых индексы 1 и 2 поменялись местами, нет никакого физического различия, мы можем иметь либо либо Наконец, мы сразу же видим, что уравнение (13) можно решить двумя различными способами. Либо мы полагаем либо полагаем, когда возможно,

Рис. 10.1. Квадрат угловой скорости вдоль последовательностей сфероидов Маклорена (сплошная линия) и эллипсоидов Якоби (штриховая линия) в зависимости от отношения Единицей измерения служит также приложение

для определенности и требуем, чтобы интегральный множитель в уравнении (13) обращался в нуль. Первое решение определяет сфероиды Маклорена (ср. с разд. 4.5, где они рассматриваются в инерциальной системе отсчета), а второе соответствует эллипсоидам Якоби. [В этом случае угловая скорость определяется одинаково хорошо и по формуле (14), и по формуле Численное исследование уравнения (13) показывает, что эллипсоиды Якоби существуют лишь в области где ; они изменяются от сфероида в точке бифуркации до бесконечно длинной спицы, угловая скорость которой стремится к нулю В приложении приведены численные значения для отдельных членов последовательностей сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. На рис. 10.1 и 10.2 показано поведение (в нормированных единицах) в зависимости от Итак, при возможными фигурами равновесия являются только сфероиды Маклорена, напротив, в диапазоне каждому значению соответствуют две эллипсоидальные

Рис. 10.2. Полный момент количества движения вдоль последовательностей сфероидов Маклорена (сплошная линия) и эллипсоидов Якоби (штриховая линия) в зависимости от отношения Единицей измерения служит где (См. также приложение Г.)

конфигурации в относительном равновесии: сфероид Маклорена и эллипсоид Якоби.

Из приложения следует, что для фиксированных значений полная механическая энергия в теле, симметричном относительно трех плоскостей, меньше, чем в соответствующей осесимметричной конфигурации. Следовательно, если действует какой-либо диссипативный механизм, то мы вправе ожидать, что за точкой бифуркации несжимаемый сфероид Маклорена будет постепенно переходить в эллипсоид Якоби, имеющий такой же момент количества движения [см. уравнение (22) и его обсуждение]. Такой эволюции в точности соответствуют секториальные моды, рассмотренные в разд. 6.7, поэтому теперь следует заняться подробным изучением этих мод.

Как мы помним, в случае твердотельно вращающегося однородного сфероида уравнение (116) из разд. 6.7 является точным, если можно пренебречь диссипативными эффектами. Таким образом, в данном случае получаем

и два аналогичных выражения, в которых заменяется на ; ни одна из частот явно не зависит от сжимаемости системы. Для сфероидов Маклорена параметр сводится к

На рис. 10.3 изображено поведение частот вдоль последовательности сфероидов Маклорена по Лебовицу. Частота обращается в нуль при т.е. в точке где от последовательности сфероидов Маклорена ответвляется последовательность эллипсоидов Якоби. Кроме того, при т.е. за точкой обе частоты становятся комплексными; отсюда ясно, что мода с частотой является пределом колебательной неустойчивости (см., однако, разд. 11.3). Два критических сфероида, соответствующие изображены на рис. 10.4. В случае несжимаемых сфероидов неустойчивость тессеральных и зональных мод, которые также рассматривались в разд. 6.7, уже не возникает.

Таким образом, в отсутствие диссипации в точке бифуркации ни

Рис. 10.3. Частоты секториальных мод вдоль последовательности сфероидов Маклорена в зависимости от отношения Частоты приведены в единицах они не изображены за точкой где становятся комплексными. По Лебовицу

Рис. 10.4. Меридиональные сечения сфероидов Маклорена, соответствующие о — точке бифуркации пределу динамической устойчивости

одна из частот не становится комплексной и динамическая неустойчивость наступает только после точки Как показали Робертс и Стюартсон, а также Розенкилд, если учесть вязкую диссипацию, то положение сильно изменится. В первом приближении вековое уравнение, из которого определяются корни (16), теперь приобретает вид

где

а коэффициент кинематической вязкости. В предельном случае малой вязкости частота, которая обращается в нуль в точке приобретает вид

Из выражения (20) следует, что соответствующее движение затухает до нейтральной точки а в диапазоне его амплитуда растет с инкрементом, равным

(табл. 10.1). Таким образом, в области даже очень слабое трение переводит сфероид в новую трехосную конфигурацию. О такой системе говорят, что она обладает вековой неустойчивостью. Как и в отсутствие вязкости, за точкой сфероид Маклорена становится динамически неустойчивым. Все остальные моды затухают из-за вязкой диссипации.

Таблица 10,1 (см. скан) Инкременты вековой неустойчивости

Истинный смысл вековой неустойчивости разъяснили в 1879 г. Кельвин и Тейт, понять его можно следующим образом. Рассмотрим уравнения Навье — Стокса в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью с разд. 3.3, уравнение (52)]. Умножим их скалярно на вектор скорости, наблюдаемый во вращающейся системе, и проинтегрируем

по всему объему У. Для несжимаемой конфигурации находим

где относительная кинетическая энергия, измеряемая во вращающейся системе, а диссипативная функция с разд. 3.4, формула (62)]. Рассмотрим теперь тело, покоящееся относительно нашей вращающейся системы Если придать этой конфигурации небольшое смещение, то можно написать

где и малые приращения соответственно. Из уравнения (23) сразу следует, что пока отличается от нуля, сумма должна непрерывно уменьшаться. Если полная механическая энергия К абсолютно минимальна, то всегда положительно, отсюда и и должны стремиться к нулю, и система в конечном счете вернется к своему равновесному положению. Напротив, если сумма не есть абсолютный минимум, то убывает, значит, медленно возрастает со временем до тех пор, пока конфигурация не придет в соседнее состояние относительного равновесия, обладающее вековой неустойчивостью. Именно так ведут себя сфероиды Маклорена при поскольку полная механическая энергия К эллипсоида Якоби меньше, чем у его осесимметричного аналога с таким же моментом количества движения.

Впоследствии истинную роль вековой неустойчивости изучали Пресс и Тюкольски; они проинтегрировали уравнения Навье — Стокса в предположении, что деформации эллипсоидальны. Из их численных результатов вырисовывается последовательная картина: за точкой несжимаемый сфероид Маклорена медленно и монотонно деформируется в эллипсоид Якоби. Промежуточные конфигурации — это эллипсоиды с внутренними движениями. В любых задачах, возникающих на практике, можно считать, что эволюционный путь зависит только от среднего а не от точного вида функции На рис. 10.5 и 10.6 показано, как вязкий сфероид Маклорена постепенно переходит в эллипсоид Якоби с такими же массой, объемом и моментом количества двжения.

Учитывая эти результаты, можно ожидать, что и другие диссипативные механизмы приведут к неустойчивости сфероида Маклорена за точкой бифуркации Как показал Чандрасекар, диссипация энергии гравитационным излучением также вызывает вековую неустойчивость в одной из секториальных мод колебания. Если принять приближение слабого поля в общей теории относительности, а движения считать медленными, то две секториальные моды (16) приближенно определяются из уравнения

(кликните для просмотра скана)

в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ; здесь

где с — скорость света. Из уравнения (24) следует, что при учете гравитационного излучения неустойчивым оказывается корень Находим

Эта мода затухает при но растет по амплитуде в диапазоне (см. примечание на стр. 225). Инкремент этой вековой неустойчивости равен

(см. табл. 10.1). Таким образом, реакция гравитационного излучения, как и вязкое трение, приводит к вековой неустойчивости сфероида Маклорена за точкой Но мода колебания, которая становится неустойчивой из-за реакции излучения, не совпадает с модой, которая становится неустойчивой из-за вязкости.

Поведение невязкого сфероида Маклорена под действием гравитационного излучения изучала и Миллер, которая непосредственно проинтегрировала уравнения движения для нескольких первоначально равновесных конфигураций. Ее анализ показывает, что невязкий сфероид Маклорена с вековой неустойчивостью стремится сойти с последовательности осесимметричных тел: за точкой невязкий сфероид благодаря реакции гравитационного излучения постепенно переходит в эллипсоид Дедекинда с теми же массой, объемом и циркуляцией.

Однако, как показали Линдблом и Детуейлер, при наличии и вязкости, и реакции гравитационного излучения точка наступления вековой неустойчивости сдвигается за в точку, определяемую отношением интенсивностей диссипативных сил. В частности, если масса и объем сфероидов

заданы, то существует одно выделенное значение коэффициента вязкости, при котором вековая устойчивость в последовательности сфероидов Маклорена будет сохраняться вплоть до точки наступления динамической неустойчивости Поэтому исследовать устойчивость сфероидов Маклорена при одновременном наличии вязкости и реакции гравитационного излучения приходится совершенно иначе, чем в случае, когда действует лишь один из этих диссипативных эффектов.