6.6. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

В общем случае малые колебания бароклины в состоянии стационарного вращения описываются уравнениями (15), (17), (25) и (29) вместе с необходимыми граничными условиями. К сожалению, эту задачу в большинстве случаев нельзя решить в конечном аналитическом виде, поэтому при исследовании таких движений обычно прибегают к приближенным методам. Сейчас мы покажем, что решения задачи можно выразить при помощи вариационного принципа, предложенного Клементом, Линден-Беллом и Острайкером. Чтобы обрисовать основные идеи, мы ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений. Возвращаясь к уравнению (25), можно написать

где

где выражаются через посредством формул (15) и (29) соответственно. Центробежное ускорение дается формулой (20), а компоненты скорости V в нашей инерциальной системе отсчета имеют вид

По предположению в равновесной системе все величины зависят только от и

До сих пор мы не делали никаких предположений относительно лагран-жева смещения Начиная с этого момента мы будем искать осесимметричные решения, т.е. движения, для которых не зависят от В этом случае уравнение (66) для различных компонентов выглядит так:

где зависят только от Уравнение (70) выражает закон сохранения -компонента момента количества движения и является прямым следствием нашего предположения об осевой симметрии возмущений. Проинтегрировав (70) по времени, можно написать

где произвольная функция.

Ограничимся теперь такими движениями, для которых (ниже мы подробнее остановимся на этом предположении). Тогда, исключая из уравнений (69) и (72), получаем

Уравнения (71) и (73) представляют собой задачу с начальными условиями для Поэтому, как только найдено, мы можем вывести из уравнения (70) и, подбирая подходящим образом скажем при сможем добиться, чтобы функция всюду обращалась в нуль. Таким образом, положив мы ограничили класс движений такими начальными условиями, для которых это требование выполнено. Легко видеть, что решения вида (33) — нормальные моды — принадлежат этому классу.

Поскольку 1; не входит ни в уравнение (71), ни в уравнение (73), вектор удобнее переопределить и считать двумерным с компонентами Тогда уравнения (71) и (73) можно объединить в одно векторное уравнение

где линейный оператор, действующий на компоненты которого определяются формулами

где вектор имеет вид

С помощью формулы (67) можно доказать, что не зависящий от времени оператор симметричен [ср. с формулой (49)]. Отсюда, с учетом уравнения (74) можно применить энергетический принцип (разд. 6.5). В частности, если для некоторого допустимого

то можно утверждать, что равновесная конфигурация неустойчива. Это необходимое и достаточное условие неустойчивости относительно осесимметричных движений не зависит от существования нормальных мод; в таком виде этот результат принадлежит Лебовицу. Как будет показано в разд. 6.8, условие (78) означает, что равновесная конфигурация неустойчива, если ее полная энергия неминимальна.

Ограничимся теперь рассмотрением нормальных мод. Если зависимость от времени имеет вид (33), то уравнение (74) приводит к задаче на собственные значения для уравнения

(До конца этого раздела мы будем считать, что зависит только от Следовательно, пользуясь обозначениями (50) и (54), можно записать

После интегрирования по частям выражения (50) получаем

Уравнение (80) лежит в основе вариационного метода определения допустимых значений Иными словами, собственные частоты экстремальны относительно произвольных вариаций в уравнении (80).

Чтобы доказать это свойство, обозначим через приращение, которое получает когда подвергается малой вариации Функции и произвольны, за тем исключением, что они должны удовлетворять граничным условиям. В соответствии с уравнением (80) можно написать

Вследствие симметрии получаем

а также имеем

Таким образом, уравнение (83) приобретает вид

Ясно, что если собственное решение уравнения (79), то обращается в нуль. И обратно, если для произвольной вариации то должно быть собственным смещением, соответствующим Этим завершается доказательство вариационного принципа для осесимметричных движений.

На практике удобно использовать «пробные» смещения вида

где - любые фиксированные функции (например, многочлены от и а коэффициенты подбираются из условия экстремума Если положить

то уравнение (80) можно переписать в следующем виде:

Варьируя так, чтобы отношение достигло экстремального значения, мы тут же получаем

Это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно следовательно, ее определитель должен обращаться в нуль, и нам остается решить вековое уравнение

чтобы найти приближенные значения собственных частот.