Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.6. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИПВ общем случае малые колебания бароклины в состоянии стационарного вращения описываются уравнениями (15), (17), (25) и (29) вместе с необходимыми граничными условиями. К сожалению, эту задачу в большинстве случаев нельзя решить в конечном аналитическом виде, поэтому при исследовании таких движений обычно прибегают к приближенным методам. Сейчас мы покажем, что решения задачи можно выразить при помощи вариационного принципа, предложенного Клементом, Линден-Беллом и Острайкером. Чтобы обрисовать основные идеи, мы ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений. Возвращаясь к уравнению (25), можно написать
где
где
По предположению в равновесной системе все величины зависят только от До сих пор мы не делали никаких предположений относительно лагран-жева смещения
где
где Ограничимся теперь такими движениями, для которых
Уравнения (71) и (73) представляют собой задачу с начальными условиями для Поскольку 1; не входит ни в уравнение (71), ни в уравнение (73), вектор
где
где вектор
С помощью формулы (67) можно доказать, что не зависящий от времени оператор
то можно утверждать, что равновесная конфигурация неустойчива. Это необходимое и достаточное условие неустойчивости относительно осесимметричных движений не зависит от существования нормальных мод; в таком виде этот результат принадлежит Лебовицу. Как будет показано в разд. 6.8, условие (78) означает, что равновесная конфигурация неустойчива, если ее полная энергия неминимальна. Ограничимся теперь рассмотрением нормальных мод. Если зависимость
(До конца этого раздела мы будем считать, что
После интегрирования по частям выражения (50) получаем
Уравнение (80) лежит в основе вариационного метода определения допустимых значений Чтобы доказать это свойство, обозначим через
Вследствие симметрии
а также имеем
Таким образом, уравнение (83) приобретает вид
Ясно, что если На практике удобно использовать «пробные» смещения вида
где - любые фиксированные функции (например, многочлены от
то уравнение (80) можно переписать в следующем виде:
Варьируя
Это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно
чтобы найти приближенные значения собственных частот.
|
1 |
Оглавление
|