7.3. КРИТЕРИИ ЗОЛБЕРГА И ХЕЙЛАНДА

Рассмотрим звезду в состоянии стационарного вращения в инерциональной системе отсчета (ср. с разд. 4.2) и предположим, что она вращается с некоторой заданной угловой скдростью При каких условиях эта звезда будет устойчива относительно малых изоэнтропических возмущений? Другими словами, какие ограничения следует наложить на закон вращения чтобы исключить движения, монотонно возрастающие с характерным временем порядка т.е. сравнимым с периодом вращения? В настоящее время нельзя дать определенного ответа на этот вопрос. Тем не менее для осесимметричных движений интересные результаты можно получить с помощью критерия Фьертофта — Лебовица, выведенного в разд. 6.6 и 6.8. Если при некотором выбранном допустимом виртуальном смещении

то равновесная конфигурация динамически неустойчива по отношению к осесимметричным движениям, т.е. полная энергия звезды не является абсолютным минимумом. Здесь линейный оператор действует на двумерный вектор с компонентами (ср. с разд. 6.6) следующим образом:

где единичный вектор, направленный по Эйлеровы вариации и задаются соотношениями

(ср. с разд. 6.3); аналогично, предполагая, что на равновесной поверхности плотность обращается в нуль, имеем

где выражается через при помощи формулы (22).

Чтобы продвинуться дальше, нужно подставить выражения (21) — (24) в неравенство (20). В частности, интегрируя второй член из формулы (21), включающий давление, по частям и пользуясь тем, что на поверхности игранжева вариация обращается в нуль, находим

поскольку на границе где по предположению обращается в нуль [см. разд. 6.3, формулу (32)]. После преобразования различных членов неравенства (20) в конечном счете получаем

где а тензор имеет вид

Определим теперь следующие векторы, которые потребуются в дальнейшем:

где момент количества движения на единицу массы, а энтропия на единицу массы. [Второе из равенств (30) справедливо в общем случае для смеси газа и излучения и может быть выведено из соотношений разд. 3.4; в данном случае удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении. С учетом этих определений мы можем переписать тензор в компактном виде

Поскольку векторы (28) — (31) и тензор (32) играют в дальнейшем важную роль, кратко перечислим их главные свойства. Прежде всего вследствие условия механического равновесия эти четыре вектора не являются независимыми. В общем случае имеем

[Соотношение (4) не выполняется, так как теперь зависит также и от Взяв ротор от соотношения (33), находим

В силу выражений (28) — (31) отсюда следует, что

и, значит, направление вращения всегда противоположно вращению Формула (35) является также и условием симметричности тензора В этом легко убедиться непосредственным вычислением в компонентах; получим

а кривые представляют собой семейство концентрических конических сечений. Таким образом, в каждой точке звезды можно найти две (ортогональные) главные оси такие, что

где компоненты по двум главным осям. Поскольку след и определитель инвариантны относительно вращения осей, имеем также

Наконец, отметим, что векторы всегда направлены по внешним нормалям к поверхностям соответственно. Аналогично, векторы ортогональны к поверхностям соответственно, однако a priori не известно, направлены ли они по внутренним или по внешним нормалям к этим поверхностям.

Чтобы рассмотреть следствия из критерия Фьертофта — Лебовица, предположим, что в конфигурации можно пренебречь эйлеровыми вариациями Для изоэнтропических движений предположение справедливо, если характерное время возмущений превышает время прохождения возмущенной области звуковой волной. (Это означает, что отфильтровываются -моды, рассмотренные в разд. 6.4.) Предположение означает, что в своем анализе мы ограничиваемся возмущениями с большим числом узлов [ср. с формулой (24)], т.е. колебаниями, у которых длина волны гораздо меньше среднего радиуса звезды. В этих предположениях устойчивость равновесной модели зависит от поведения квадратичной формы Согласно формулам (20) и (26), система динамически

устойчива относительно осесимметричных возмущений тогда и только тогда, когда положительно определена. В самом деле, если это условие не выполнено, всегда можно найти виртуальное смещение которое уменьшает полную энергию системы, что указывает на неустойчивость равновесия. Из формул (37) — (39) следует, что положительно определена тогда и только тогда, когда положительны. Отсюда условиями устойчивости являются

или в исходных переменных

В таком общем виде эти условия устойчивости впервые получил Хейланд.

В предельном случае, когда вращения нет условия (41) и (42) сводятся к одному неравенству

из которого следует, что в устойчивой сферической системе энтропия всегда увеличивается наружу. Оно же служит условием субадиабатического падения температуры во всей системе, что эквивалентно, условию устойчивости всех -мод [ср. с разд. 6.4, формула (43)]. Поэтому, если условие (43) не выполняется, могут возникать конвективные течения, которые стремятся так перемешать вещество звезды, чтобы уменьшить градиент температуры. Разумеется, приведенные рассуждения основаны на условиях Эти допущения несущественны для вывода критерия Шварцшильда (43), что полностью доказали Лебовиц и Эйзенфельд (ср. с разд. 6.4).

Случай гомэнтропической звезды (т.е. тоже достаточно ясен. Здесь, согласно соотношению (35), векторы всюду коллинеарны и угловая скорость не зависит от Конфигурация вырождается в псевдобаротропу, а условие устойчивости (41) приобретает вид

Следовательно, в устойчивых гомэнтропических звездах момент количества движения на единицу массы должен обязательно увеличиваться наружу. Это критерий Золберга, обобщающий хорошо известный для невязкой несжимаемой жидкости критерий Рэлея на гомэнтропические тела. Как показал Рандерс, условие устойчивости (44) объясняется сохранением момента количества движения на единицу массы каждой частицы жидкости при ее малых смещениях от положения равновесия. В самом деле, если условие (44) выполнено, то момент количества движения каждого перемещающегося наружу элемента массы меньше, чем у невозмущенного вещества вблизи нового положения элемента. Этот дефицит момента количества движения

означает дефицит центробежной силы и приводит к замедлению движения наружу. Аналогично, если элемент массы сдвигается внутрь, то избыточный момент количества движения этого погрузившегося элемента жидкости выталкивает его обратно и движение вглубь прекращается.

Исходя из этих результатов, казалось бы, можно предположить, что в общем случае бароклинной звезды условия устойчивости (41) и (42) равносильны условиям (43) и (44) в совокупности. Это не совсем верно, как видно из следующего геометрического рассуждения, которое принадлежит Хейланду и Холмбоу. Поскольку мы интересуемся главным образом условиями устойчивости, ограничимся случаем, когда с формулой (38)]. На рис. 7.1 и 7.2 изображены две возможные ориентации основных векторов в некоторой точке. На рис. 7.1 оба векторных произведения направлены в одну сторону и, следовательно, определитель положителен [см. равенство (39)]. Это означает устойчивость. Напротив, на рис. 7.2 векторные произведения имеют противоположные знаки, поэтому их скалярное произведение отрицательно и Это означает неустойчивость. Сказанное выше можно сформулировать в виде следующего предложения:

Стационарно вращающаяся бароклинная звезда динамически устойчива по отношению к осесимметричным движениям тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) энтропия на единицу массы никогда не уменьшается наружу, 2) на каждой поверхности момент количества движения на единицу массы увеличивается от полюсов к экватору.

Это критерий Хейланда. Итак, что касается динамической устойчивости, то для устойчивых стратификаций плотности допустимы некоторые законы вращения с зависимостью как от так и от Причем к этим неконсервативным законам не применим парадокс фон Цейпеля (см. однако разд. 7.5).

Сделаем в заключение два замечания. Во-первых, критерий Хейланда справедлив и для псевдобаротропных моделей. В этом случае устойчивые конфигурации должны удовлетворять обоим условиям (43) и (44), за

Рис. 7.1. Динамически устойчивая ситуация.

Рис. 7.2. Динамически неустойчивая ситуация.

исключением, быть может, точек экватора где следует пользоваться неравенством (41) (ср. с разд. 14.5). Однако поскольку условие означает устойчивость против конвекции (т.е. субадиабатичность падения температуры), мы снова сталкиваемся с парадоксом фон Цейпеля, согласно которому лучистое равновесие в псевдобаротропах невозможно. Во-вторых, критерий Хейланда дает необходимые и достаточные условия устойчивости лишь по отношению к рассмотренным нами осесимметричным движениям. Поскольку в своем анализе мы не затрагивали неосесимметричные возмущения и пренебрегали эйлеровой вариацией этот критерий следует считать лишь необходимым условием устойчивости. В настоящее время малые отклонения от осевой симметрии в звезде изучены еще плохо.