6.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Приведем теперь необходимые для дальнейшего рассмотрения общие уравнения, описывающие изменения, которые происходят вследствие произвольно малого возмущения исходного состояния стационарного вращения. Индекс «0», обозначавший равновесное состояние, мы впредь будем опускать, поскольку это уже не будет приводить к двусмысленности.

Из уравнения сохранения массы [разд. 3.3, уравнение (21)] следует, частности, что

или в силу формулы (6)

Кроме того, при изоэнтропических движениях относительные изменения давления и плотности пропорциональны [разд. 3.4, формула (73)], т.е.

что означает отсутствие механизмов диссипации. Обобщенный показатель адиабаты в большинстве случаев непостоянен по пространству. Аналогично получаем

Несколько сложнее разобраться с уравнениями движения. Вспомним прежде всего векторное уравнение равновесия

где

Компоненты центробежного ускорения в цилиндрических координатах имеют вид

[см. разд. 4.3, формулы (15) — (17)]. Далее, как легко увидеть из векторного уравнения движения

его аналог для малых возмущений имеет вид

где используется инерциальная система отсчета левая часть уравнения (22) получается из очевидных соотношений

В силу формул (7), (18) и (19) можно теперь написать

Затем, воспользовавшись первой из формул (9), в конечном счете получим

Заметим, что с помощью соотношений (15) и (17) как др, так и можно связать с В уравнение (25) фактически входят лишь лагранжево смещение и эйлерова вариация гравитационного потенциала.

Ясно, что главная трудность задачи — это наличие вариации в уравнении (25). Чтобы отыскать для подходящее выражение, рассмотрим элемент массы смещенный от исходного положения х. Его вклад в гравитационный потенциал в некоторой точке х первоначально составлял

а в результате смещения стал равным

Следовательно, изменение потенциала V в точке х, вызванное этим

элементом массы, равно

где относится к переменным х. Суммируя затем по всей массе получаем эйлерову вариацию в точке х в момент

или по теореме Гаусса

где выражается через с помощью уравнения (15), вектор внешняя нормаль к невозмущенной границе Интеграл также должен быть взят по равновесному объему вращающейся модели. Другим способом можно найти из уравнения Пуассона

Итак, малые колебания известной равновесной структуры полностью описываются уравнениями (15), (17), (25) и (30) [или (31)], а также некоторыми подходящими граничными условиями, которые мы теперь рассмотрим. Во-первых, полное давление др в каждый момент должно обращаться в нуль на (неизвестной) деформированной поверхности. Поскольку мы ограничиваемся здесь анализом движений с малой амплитудой, достаточно потребовать, чтобы бесконечно малая лагранжева вариация обращалась в нуль на известной поверхности У Тогда вследствие формулы (16) это условие автоматически выполняется, если и его производные всюду конечны, таким образом, это единственное требование, которое мы должны наложить на Во-вторых, на деформированной границе сила тяготения должна быть непрерывной. Ясно, что если пользоваться интегральным представлением (30), то это условие всегда будет выполняться. Напротив, если выводить К из уравнения (31), то нужно потребовать, чтобы бесконечно малое изменение также было непрерывным в каждый момент на равновесной поверхности Это условие в свою очередь приводит к необходимости дополнительно определять внешний гравитационный потенциал возмущенной зависящей от времени конфигурации. Для вращающихся моделей последний подход не особенно практичен.

Отметим еще следующее обстоятельство. По соглашению, граница У

определена условием разд. 4.2) и нигде не предполагается, что на равновесной поверхности обращается в нуль плотность. Однако если на поверхности то на этой границе В самом деле, в соответствии с уравнениями (7) и (18) всегда имеем

Отсюда немедленно следует указанное свойство, поскольку всюду, где плотность обращается в нуль, становится равной нулю и величина Этот результат очевиден физически, потому что представляет собой вес вещества, которое смещено вследствие возмущений вверх или вниз, относительно площадки на поверхности Очевидно, что в том случае, когда плотность вблизи поверхности равновесия падает до нуля, эта величина становится пренебрежимо малой.

Теперь, когда задача линеаризована, можно разделить пространственные переменные х и время и искать решения (нормальные моды) в виде

с аналогичными выражениями для эйлеровых и лагранжевых вариаций. Вообще говоря, угловая частота может быть действительной, мнимой или комплексной; в последнем случае Затем из уравнений для возмущений и надлежащих граничных условий (в которых мы формально полагаем нужно найти допустимые значения (и соответствующие собственные функции). Ясно, что если хотя бы у одной собственной частоты мнимая часть окажется отрицательной то имеет место неустойчивость, поскольку в этом случае в формулу для лагранжева смещения (33) входит возрастающий множитель Для устойчивости относительно флуктуаций с малой амплитудой необходимо не только выполнение условия для всех мод, но требуется также, чтобы любое произвольное малое возмущение можно было разложить в линейную комбинацию собственных функций (так как иначе могли бы существовать возмущения, недоступные нашему анализу). Полнота системы нормальных мод для данной задачи до сих пор так и не была доказана в общем виде. Во всяком случае, анализ нормальных мод малых изоэнтропических флуктуаций полезен по двум причинам: 1) он дает частоты колебаний, причем некоторые из них приближенно описывают наблюдаемые типы звездной переменности (однако еще предстоит найти механизм возбуждения, объясняющий это явление), 2) он выявляет некотррые виды неустойчивых течений, которые в конечном счете заставляют систему отклониться от исходного равновесного состояния (однако в таком случае следует учитывать возмущения с конечной амплитудой).