7.2. ПАРАДОКС ФОН ЦЕЙПЕЛЯ

В этом разделе мы прежде всего рассмотрим модели звезд (или их областей), находящихся в строгом лучистом равновесии. Таким образом, в каждой точке вектор лучистого потока и скорость ядерного энерговыделения связаны соотношением

причем

где постоянная лучистого давления, скорость света и непрозрачность соответственно. Для иллюстрации задачи предположим также, что полное давление связано с плотностью и температурой уравнением состояния

где (постоянная) средняя атомная масса, а газовая постоянная.

Предположим теперь, что конфигурации находятся в состоянии стационарного вращения (ср. с разд. 4.2) и что их угловая скорость зависит только от расстояния от оси вращения. Поскольку эти псевдобаротропы обладают осевой симметрией, удобно воспользоваться цилиндрической системой координат Тогда условие механического равновесия приобретает вид

где

Наконец, гравитационный потенциал связан с плотностью уравнением Пуассона

где гравитационная постоянная.

Мы ограничиваемся анализом химически однородных псевдобаротроп, поэтому изобарические, изопикнические и изотермические поверхности (т.е. поверхности соответственно) совпадают с уровненными поверхностями (ср. с разд. 4.3) Значит, если

предположить, что то скорость выделения энергии и непрозрачность будут зависеть только от Отсюда следует

или

где

Но на каждой уровенной поверхности принимает постоянное значение, зависящее от выбора этой поверхности. Следовательно, поскольку поверхность псевдобаротропы также является уровенной поверхностью, можно утверждать, что изменение яркости на поверхности псевдобаротропы в точности соответствует изменению эффективной силы тяжести.

Это закон гравитационного потемнения фон Цейпеля; мы рассмотрим его в разд. 12.3.

Вычислим теперь дивергенцию от величины (8). Сразу находим

где производная по направлению внешней нормали к уровенной поверхности, а штрих означает дифференцирование по Имеем также

Ясно, что есть абсолютная величина эффективной силы тяжести 0, т.е. ускорение свободного падения с учетом центробежного ускорения. Из формул (5) и (6) получаем

Пользуясь формулами (10) — (12), можно переписать уравнение (1) в вице

Это условие строгого лучистого равновесия для псевдобаротропы в состоянии стационарного вращения.

Особенно нагляден случай твердотельно вращающейся звезды, который и рассмотрел впервые фон Цейпель. Уравнение (13) сводится тогда к следующему:

Как известно, на уровенной поверхности вращающегося тела не постоянно, поскольку расстояние от одной такой поверхности до другой не во всех точках одинаково. Следовательно, поскольку постоянны на уроненных поверхностях, коэффициент при в уравнении (14) должен

независимо обращаться в нуль. Итак, имеем

Тогда уравнение (14) приобретает вид

а уравнение (8) сводится к виду

Очевидно, условие (16) никогда не выполняется в реальной звезде. Отсюда следует, что твердотельное вращение псевдобаротропы в статическом лучистом равновесии невозможно.

Прежде чем подробнее говорить о следствиях из уравнения (16), рассмотрим вкратце общий консервативный закон Как показали Росселанд и Фогт, в этом случае интуитивно ясно, что закон несовместим с условием (13). В самом деле, постоянно на цилиндрах, соосных оси вращения, тогда как постоянно на некоторых сплюснутых поверхностях, несильно отличающихся от уровенных поверхностей. Итак, в силу уравнения (13) условия (15) и (17) по-прежнему выполнены, но мы должны наложить дополнительное условие

После интегрирования находим

где две произвольные постоянные. Если то мы просто возвращаемся к случаю тведотельно вращающейся псевдобаротропы. Если же то мы все равно должны отвергнуть закон вращения (19), потому что он приводит к недопустимому ограничению на а именно к -ловию (16), в котором заменяется на Приведенные рассуждения показывают, таким образом, что дифференциально вращающиеся псевдобаротропы не могут оставаться в статическом лучистом равновесии. В этом и состоит парадокс фон Цейпеля. Строгое доказательство этого общего свойства псевдобаротроп дал Роксбург.

Итак, поскольку в реальных звездах не выполняется ни условие (16), ни условие (19), можно сформулировать следующее утверждение:

Для описания вращающихся звезд в строгом лучистом равновесии неприменимы псевдобаротропные модели в состоянии стационарного вращения.

Стоит уточнить, что осуществлению законов вращения препятствуют не обычные скорости выделения ядерной энергии, а условие строгого лучистого равновесия. В самом деле, в предельном случае, когда вращение отсутствует, на каждой сферической поверхности и нет нужды требовать обращения в нуль некоторых членов в уравнении (13) независимо от остальных. Поэтому уравнение (13) надо рассматривать как указание на то, что для несферических звезд

следует отбросить хотя бы одно из предположений, приводящих к уравнениям (16) и (19).

Парадокс фон Цейпеля можно разрешить двумя различными способами: либо допуская, что зависит и от и от либо предполагая, что в искаженной вращением звезде не справедливо предположение о строгом лучистом равновесии. Согласно Фогту и Эддингтону, при втором предположении нарушается постоянство температуры и давления на уровенных поверхностях и возникающий градиент давления между экватором и полюсами вызывает течение вещества вдоль этих поверхностей. Как мы увидим в гл. 8, поток, который появляется на уровенных поверхностях из-за отсутствия теплового равновесия, уже не исчезает, а превращается в постоянную меридиональную циркуляцию. В оставшейся части этой главы рассмотрим первое из возможных разрешений парадокса фон Цейпеля, истинные бароклины, для которых зависит как от так и от (см. разд. 4.3).