2. «Лептоны» как модель унитарной симметрии

Для простоты мы начнем обсуждение унитарной симметрии: с «лептонов», хотя на самом деле наша теория построена для барионов, мезонов и сильных взаимодействий. Частицы, которые мы рассматриваем здесь в целях математического развития формализма, не обязательно должны иметь что-либо общее с реальными лептонами, хотя некоторые параллели довольно многозначительны. Рассмотрим три лептона: и их античастицы. Нейтрино рассматриваются на той же основе, что и два других лептона, хотя опыт говорит, что если трактовать нейтрино как 4-компонентное дираковское поле, то лишь две компоненты его участвуют в физическом взаимодействии (более того, могут существовать два типа нейтрино: одно связанное с электроном, другое — с (А-мезоном).

Насколько мы знаем, электрические и слабые взаимодействия абсолютно симметричны относительно которые отличаются, однако, от V. Заряженные частицы разделены таинственной разностью их масс. Эту разность мы не будем приписывать какому-либо взаимодействию или пытаться здесь как-либо ее объяснять. (Тому, кто все же захочет сопоставить

эту разность масс некоторому взаимодействию, возможно, придется ввести связь, которая становится существенной только при чрезвычайно высоких энергиях и в настоящее время имеет лишь академический интерес.) Однако мы допускаем, что разность масс связана с другим, не менее таинственным механизмом, который вызывает нарушения унитарной симметрии барионов и мезонов и приводит к расщеплению супермультиплетов на изотопические мультиплеты. Для практических целей все эти расщепления мы включим в механические массы рассматриваемых частиц.

Хорошо известно, что в современной квантовой электродинамике никому не удалось объяснить разность масс как электромагнитный эффект. Не составляя предвзятой точки зрения относительно физического происхождения разностей масс, мы будем строить теорию, считая, что эта разность «включается» вместе с зарядом электрона. Если теперь «выключить» разность масс а также электромагнитные и слабые взаимодействия, то у нас останется физически идеализированная теория трех дираковских в точности одинаковых частиц, лишенных массы покоя и каких-либо известных связей. Эта «пустотная» модель оказывается, однако, идеальной с математической точки зрения; с физической стороны она подсказывается аналогией с сильно взаимодействующими частицами, поскольку основную барионную массу и сильные взаимодействия барионов с мезонами следует ввести как раз на соответствующей ступени полной унитарной симметрии. Конечно, симметричная модель инвариантна при всех унитарных преобразованиях трех состояний

Допустим сперва для простоты, что у нас имеются только две частицы: и Каждое унитарное преобразование можно единственным образом разделить на два, первое из которых дает умножение на некоторый фазовый множитель для обеих частиц и второе, с определителем, равным 1, оставляет инвариантным произведение фазовых множителей частиц и Инвариантность относительно первого типа преобразований соответствует сохранению лептонов и ее можно рассмотреть отдельно от инвариантности относительно класса преобразований второго типа (их математики называют унитарной унимодулярной группой в двух измерениях).

Каждое преобразование первого типа можно записать через матрицу , где 1 - единичная -матрица. Инфинитиземальное преобразование имеет вид так что единичная матрица является инфинитиземальным оператором подобных преобразований. Преобразования второго типа порождаются аналогичным образом тремя независимыми бесследными -матрицами, в качестве которых можно взять три паулиевские

матрицы изотопического спина: Таким образом, мы имеем

в качестве общего инфинитиземального преобразования второго типа. Симметрия относительно всех преобразований второго типа совпадает с симметрией относительно другими словами, с симметрией изотопического спина или зарядовой независимостью. Весь формализм теории изоспина можно затем построить, рассматривая трансформационные свойства этого дублета или спинора и более сложных объектов, которые преобразуются как комбинации двух или более таких лептонов.

Матрицы Паули являются эрмитовыми и удовлетворяют соотношениям

Обобщим теперь идею изотопического спина, включая третий объект, Мы снова разделяем унитарные преобразования лептонов на преобразования, определяемые единичной -матрицей 1 и соответствующие сохранению лептонов, и другие преобразования, которые определяются 8 независимыми бесследными -матрицами, образующими «унитарную унимодулярную группу» в трех измерениях. Типичную систему 8 подобных матриц можно построить по аналогии с -матрицами Паули. Мы будем называть их эти матрицы и приведены в приложении 1. Они являются эрмитовыми и имеют следующие свойства:

где вещественны и полностью антисимметричны, подобно символам Кронекера в уравнении (2.2), тогда как вещественны и полностью симметричны. Эти свойства следуют из уравнений

которые получены из (2.3). Неисчезающие элементы и приведены в приложении 2 для нашего выбора Четные и нечетные перестановки индексов соответствуют умножению соответственно и умножению на

По аналогии с (2.1) общее инфинитиземальное преобразование второго типа имеет, конечно, вид

Инвариантность относительно восьми соответствует, наряду с сохранением лептонов, полной «унитарной симметрии» трех лептонов. Следует заметить, что соответствуют для и но не для -мезона. Поэтому если игнорировать симметрию между и -мезоном, мы все же будем иметь сохранение изотопического спина. Будет сохраняться также которое коммутирует с и диагонально в нашем представлении. Диагонализировать можно не больше двух X одновременно; здесь мы выбрали для этого (3-ю компоненту обычного изоспина) и которая подобна странности или гиперзаряду, поскольку она различает изотопический синглет от изотопического дублета и коммутирует с изоспином.

Далее, включение массы -мезона нарушает симметрию относительно т. е. относительно «изменяющих странность» компонент «унитарного спина», однако лептонное число, «изотопический спин» и «странность» при этом будут сохраняться. Электромагнитные взаимодействия (при учете массы электрона) нарушат сохранение и оставляя сохраняющимися только лептонное число и странность. Наконец, слабые взаимодействия разрешают изменение странности (например, при (А-мезонном распаде), но лептонное число и электрический заряд по-прежнему будут сохраняться:

где — число лептонов минус число антилептонов, для равное +1 (т. е. матрица 1). Мы видим, что картина вполне соответствует требованиям теории барионов и мезонов. Сопоставим им симметрию относительно группы унитарного спина и припишем сильные связи и основные симметричные массы. Затем включим расщепление масс, снимая симметрию относительно 4, 5, 6 и 7-й компонент унитарного спина, но оставляя сохраняющимися барионное число, странность и изотопический спин. Учет взаимодействий разрушает симметрию относительно 1-й и 2-й компонент спина, а слабые взаимодействия нарушают сохранение странности.

В конце концов остается только сохранение заряда и числа барионов.