3. Преобразования Лоренца

Рассмотрим теперь инфинитиземальные вариации координат и переменных поля

Удобно учесть возможность того, что лагранжиан может явно зависеть от х. Тогда при вариациях (3.1) L изменяется на

величину

где - означает частную производную при фиксированном Иногда бывает полезно рассматривать также вариацию при фиксированном

В частности, очевидно, что коммутирует с откуда

Интеграл действия по пространственно-временной области

преобразуется при вариации координат и переменных поля (3.1) следующим образом:

Таким, образом, интеграл действия по произвольной области инвариантен, если (см. [6])

Это, безусловно, типичный закон преобразования плотности инварианта.

Рассмотрим теперь частный случай преобразований Лоренца

где и суть 10 вещественных инфинитиземальных параметров, — матрицы, удовлетворяющие условиям

Из (3.3) имеем

Кроме того, поскольку условие инвариантности интеграла действия (3.4) снова сводится к и дает 10 тождеств (ср. [7])

Очевидно, эти тождества являются аналогами тождеств (2.2), и мы будем предполагать, что они удовлетворяются. Заметим, что тождества (3.7), выражающие условие трансляционной инвариантности, эквивалентны требованию, чтобы не зависело явно от х, как и можно было бы предвидеть.

Уравнения движения можно, как и раньше, использовать для получения 10 законов сохранения, следующих из этих тождеств, именно:

где

Так мы найдем законы сохранения энергии, импульса и углового момента.

Поучительно изучить эти преобразования также с помощью вариации которая в этом случае равна

Сравнивая это выражение с (2.1), мы видим, что роль матриц Та выполняют дифференциальные операторы — . Таким образом, по аналогии с определением (2.3) токов можно было бы ожидать, что токами в этом случае будут величины

отвечающие соответственно параметрам Однако условие инвариантности (3.4), выраженное через не будет иметь простого вида причем добавочный член обусловливает появление члена в тождествах (3.7) и, следовательно, члена