5. Свободный лагранжиан гравитационного поля

Теперь мы исследуем величину а не Как и прежде, ковариантную производную любой величины, преобразующейся подобно X, можно определить аналогичным образом. Теперь, в частности, сама (в отличие от является такой величиной, и поэтому, не расширяя определения ковариантной производной, можно вычислить коммутатор — Однако эту величину не удается получить простым умножением на как можно было бы ожидать. Причина этого заключается в том, что, вычисляя мы дифференцируем , кроме того, прибавляем добавочный член из-за наличия индекса Таким образом, получаем

где

Заметим, что выражение (5.1) не просто пропорционально но содержит также

Найдем теперь свободный лагранжиан новых полей. Ясно, что Должен быть плотностью инварианта, и если положим

то легко видеть, как и в случае линейных преобразований, что инвариант должен быть функцией только ковариантных величин и Как и прежде, имеет много возможных форм. Разница между этим случаем и предыдущим в том, что все индексы у этих выражений — одного и того же типа (в отличие от случая благодаря чему можно свернуть верхние индексы с нижними. Фактически условие скалярности в каждом из двух различных пространств свелось теперь к условию, чтобы было скаляром в одном пространстве. Это, в частности, означает, что существует линейный инвариант, не имеющий аналога из предыдущего случая, именно

Кроме того, здесь имеется несколько квадратичных инвариантов. Однако если вновь выбрать в качестве выражение наинизшей возможной степени, то мы придем к свободному лагранжиану

который отличается от лагранжиана (2.10) только тем, что он линеен по производным.

При таком выборе лагранжиана уравнения движения для новых полей суть

Из (5.6) можио сразу получить точный закои сохранения

где

Эту величину можно представить в форме

которая аналогична (2.12) [ср. (4.16)]. Уравнение (5.7) является, пожалуй, удивительным результатом, поскольку величину можно вполне резонно интерпретировать как спиновую плотность поля материи (см. [8]), и, таким образом, (5.8) играет роль закона сохранения спина и безотносительно к орбитальному угловому моменту. В действительности, однако, орбитальный момент появляется в соответствующем «ковариантном законе сохранения» (4.20), поэтому «спиновую» часть гравитационного поля можно рассматривать как возникающую из этого источника. Тем не менее уравнение (5.7) отличается от других формулировок закона сохранения углового момента в том отношении, что координаты не входят в него в явном виде.

Можно было бы также получить из уравнения (5.5) точный закон сохранения

но в выборе допустима значительная свобода. Наиболее естественным определением по аналогии с (4.15) было бы

Эта величина, безусловно, удовлетворяет уравнению (5.8). Однако в этом случае выражение в круглых скобках само исчезает, так что закон (5.8) оказывается в сущности тривиальным. Мы не будем

далее дискутировать вопрос о правильном выборе так как это выходит за рамки статьи.

Следует отметить, что уравнение (5.6) может быть по крайней мере в принципе разрешено относительно В простом случае, когда обращается в нуль, находим

Вообще, если записать

то

Если исходный лагранжиан первого порядка по производным, то не зависит от и (5.10) представляет собой решение в явном виде. Иначе же содержится и в правой части этого уравнения. Мы закончим этот пункт рассмотрением лагранжиана полей введенных в где были введены также компоненты «гравитационного» поля и Оперируя с преобразованиями Лоренца, нельзя рассматривать величины просто как компоненты х, ибо при линейных преобразованиях необходимо сохранить инвариантность. Чтобы найти правильный вид лагранжиана, следует рассмотреть одновременно эти линейные преобразования и преобразования Лоренца. Это можно сделать, когда матрицы Та коммутируют с — условие, которое на практике всегда выполняется. Тогда мы приходим к выводу, что в должно быть заменено на производную, инвариантную как при преобразованиях так и при преобразованиях (4.1), а именно на

Коммутатор содержит при этом добавочный член

где

дается выражением (2.9). Важно отметить, что производные величин в это обычные, а не ковариантные производные. (Мы увидим в следующем пункте, что обычный и ковариантный роторы не равны друг другу, ввиду того что коэффициенты аффинной связности, вообще говоря, несимметричны.) Как и прежде, легко видеть, что любая инвариантная функция должна зависеть только от поэтому простейший свободный лагранжиан для имеет вид