2. Общая теория

Рассмотрим некоторую совокупность полей с некоторой плотностью лагранжиана

Постулируем, что интеграл действия, распространенный на некоторую 4-мерную область

должен быть инвариантным относительно следующего инфинитиземального преобразования:

где

— инфинитиземальный параметр — постоянный коэффициент.

Кроме того, предполагается, что преобразование (1.1) образует группу Ли зависящую от параметров

В таком случае должна существовать определенная совокупность постоянных величин называемых «структурными константами», которые определяются формулой

Эти константы обладают следующими важными свойствами:

Соотношения (1.3) можно легко вывести из тождества Якоби и определения (1.2).

Далее, из инвариантности относительно преобразования (1.1) и того факта, что эта инвариантность должна иметь место в произвольной области следует, что сама плотность лагранжиана также должна быть инвариантной. Иными словами,

Символ означает, что равно нулю во всякой мировой точке и что соотношение не зависит от поведения Подставляя (1.1) в (1.4), получаем

так как параметры 6 не зависят друг от друга. Эти тождеств представляют собой необходимые и достаточные условия инвариантности относительно преобразований группы

Принимая во внимание уравнение поля получаем из (1.5) следующие законов сохранения:

Эти законы сохранения легко получить, записав (1.5) в виде

Первый член обращается в нуль в силу уравнений поля. Рассмотрим теперь вместо (1.1) следующее преобразование:

где

— константа, — произвольная инфинитиземальная функция.

В этом случае не обращается в нуль, а принимает вид

или вследствие тождества (1.5)

Чтобы сохранить инвариантность лагранжиана при преобразовании (1-1), необходимо ввести новое поле

таким путем, чтобы правая часть формулы (1.5) взаимно уничтожилась с тем вкладом, который даст это новое поле Обозначим новый лагранжиан через

и рассмотрим следующее преобразование:

где коэффициенты и С — неизвестные константы, которые будут определены позднее. Кроме того, потребуем, чтобы новый интеграл действия Г был инвариантен относительно преобразования (1.7). Теперь наша задача состоит в том, чтобы дать ответ на пять вопросов, сформулированных во введении.

Из постулата инвариантности получаем следующее тождество:

Подставляя сюда выражение (1.7) и учитывая произвольность выбора видим, что каждый коэффициент при должен тождественно обращаться в нуль. Таким образом, имеем следующие тождества:

Для того чтобы было возможным однозначно определить зависимость от число компонент должно быть равным

числу уравнений (1.9), т. е.

Кроме того, матрица должна быть несингулярной. Тогда будет существовать обратная С-матрица, определяемая условиями

и (1.9) можно переписать в виде

где мы положили

Таким образом, будут встречаться в только в следующих комбинациях:

или

Для величин используемых теперь вместо закон преобразования принимает вид

где

Итак, новый лагранжиан должен иметь вид

Следовательно, будут выполняться соотношения:

Принимая во внимание эти формулы, тождества (1.8) можно записать в такой форме:

Если положить

т. e. взять в качестве лагранжиан, который получается в результате замены в исходном лагранжиане обычной производной на «ковариантную производную» то в силу тождества (1.5) первый и второй члены в (1.12) взаимно уничтожаются. Остающиеся члены в (1.12) можно переписать, используя групповое свойство (1.2) следующим образом:

Тем самым определяются неизвестные коэффициенты для которых получаем формулу

Используя это выражение для легко убедиться в ковариант-ном характере производной именно

Теперь перейдем к вопросу о возможном типе лагранжиана для свободного поля А. Обозначим его через

Требование инвариантности относительно преобразования (1.11) приводит к ряду тождеств:

Как видно из (1.17), производная от А могла бы фигурировать в в комбинации

Поэтому (1.16) можно переписать в виде

Тождество (1.16) означает, что производная от А встречается в только в определенной комбинации

Наконец, подставляя (1.16) в первый член формулы (1.15), получаем

или в силу (1.3)

см. приложение I). Поскольку определяется выражением вида

то будут иметь место соотношения:

Из этих соотношений и формулы (1.16) следует, что

Таким образом, должно быть функцией только от и удовлетворять тождеству (1.19).

Как легко видеть, трансформационные свойства определяются формулой

которую нетрудно проверить, используя (1.3).

Определим теперь некоторую совокупность матриц следующим образом:

Эти матрицы осуществляют представление степени для операторов группы Ли поскольку соотношение (1.3) можно записать в виде

Таким образом, формула (1.20) показывает, что величин преобразуются коградиентно преобразованию

До сих пор мы не использовали уравнений поля для А и Вариацию полной плотности лагранжиана

можно переписать в виде

где использованы следующие сокращенные обозначения:

Выберем теперь произвольные функции таким образом, чтобы значения всех обращались в нуль на поверхности, ограничивающей область интегрирования Тогда интеграл по области от вариации (1.21) примет вид

где

(интегрирование члена в (1.21), имеющего вид дивергенции, дает нуль в силу нашего специального выбора ). Так как функции внутри области можно выбирать произвольным образом, то К должно равняться нулю в каждой точке этой области, как легко видеть из (1.22).

Следовательно, тождество (1.21) распадается на следующие два тождества:

и

Из (1.24) имеем

и

Положим

Тогда в силу (1.26)

и (1.25) принимает вид

Если использовать уравнение поля

то получим закон сохранения «тока»:

Мы получили общее правило, дающее конкретный способ вводить новое поле А, если имеет место некоторый закон сохранения типа (1.6) или если система оказывается инвариантной относительно некоторой группы Ли, зависящей от некоторых параметров.

В последующих пунктах будет рассмотрен в качестве примеров основной группы Ли ряд конкретных групп, а именно:

1) фазовое преобразование заряженного поля, 2) группа вращения в пространстве изотопического спина и 3) группа Лоренца.