11. НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Ю. ШВИНГЕР J. Schwinger, Phys. Rev., 125, 1043 (1962)

Для неабелевых векторных калибровочных полей возникает вопрос, означает ли с необходимостью калибровочная инвариантность существование физических частиц, лишенных массы. В качестве предварительного шага в изучении этого вопроса использовался принцип наименьшего действия для получения независимых динамических переменных таких калибровочных полей и перестановочных соотношений между ними.

1. Введение

Хорошо известно, что калибровочная инвариантность непосредственно связывает электромагнитные поля с набором всех полей несущих электрический заряд. Это внутреннее свойство описывается конечной чисто мнимой эрмитовой матрицей с целыми собственными значениями. Калибровочное преобразование включает произвольную числовую функцию Это преобразование является линейным и однородным для заряженных полей но оно же оказывается неоднородным для калибровочного поля

Такие преобразования образуют абелеву группу, в которой калибровочная функция

описывает суперпозицию двух отдельных преобразований. Целочисленный спектр заряда связан с компактной структурой этой группы, имеющей топологию круга. Калибровочная инвариантность означает, что локальное сохранение заряда не является следствием уравнений движения полей, имеющих заряд, а представляет собой тождество, характерное для дифференциальных уравнений калибровочного поля.

В этом обычном случае калибровочное поле не заключает в себе внутреннего свойства, с которым оно связано. Примером

иного рода может служить гравитационное поле; оно связано с энергией и импульсом, в которые должны давать вклад все физические системы. С другой стороны, однако, требование общей координатной инвариантности совершенно аналогично требованию калибровочной инвариантности. Существует и промежуточная возможность, при которой калибровочное поле связано с некоторыми внутренними свойствами и несет скорее эти внутренние, а не пространственно-временные свойства. Тогда калибровочное поле при пространственно-временных преобразованиях сохраняет те же свойства, что и электромагнитное поле. На это указывают тензорные обозначения где индекс относится к внутреннему пространству. Для гравитационного поля последний является, кроме того, и координатным индексом, что требует более сложных свойств для пространственно-временных преобразований в случае таких полей.

Калибровочные преобразования поля несущего некоторые внутренние свойства, представляются в виде конечных линейно независимых матриц в общем случае такие преобразования можно явно определить лишь для бесконечно малых преобразований

Если эти преобразования образуют группу, то два последовательных инфинитиземальных преобразования, переставленные в обратном порядке, можно связать через другое такое преобразование. Это подразумевает существование перестановочных соотношений

причем постоянные

должны характеризовать структуру группы.

Утверждение, что калибровочное поле также несет эти внутренние свойства, выражается бесконечно малым преобразованием

в котором используется -мерное внутреннее пространство. Однородное преобразование означает, что матрицы

удовлетворяют групповым перестановочным соотношениям

Но неоднородные преобразования также должны представлять структуру группы. Соответствующим условием будет

которое означает, что

Итак, матрицы получаются из структурных постоянных группы. Чтобы подтвердить, что эти матрицы подчиняются групповым перестановочным соотношениям, перепишем их в матричной форме

Тогда

откуда следует также, что

и искомый результат следует из линейной независимости -матриц.

Общее представление о пространстве внутренних свойств можно сформулировать в виде требования, что группа симметрии этого пространства замкнута в отличие от открытой группы Лоренца. Тогда все матричные представления можно сделать унитарными, так что матрицы будут эрмитовыми. Это относится и к матрицам которые образуют -мерное представление. Следует также отметить, что структурные постоянные, связанные с эрмитовыми Г-матрицами, мнимы, и, таким образом, мнимые эрмитовы матрицы должны быть антисимметричными:

Это свойство в сочетании с условием

означает полную антисимметрию ряда из чисел Чтобы получить ненулевые матрицы необходимо, чтобы и при структура неабелевой группы оказывается идентичной структуре группы вращений 3-мерного евклидова пространства.

Концепция внутренней группы симметрии уже давно рассматривается как возможная основа для описания не пространственно-временных свойств физических частиц. Идея применения таких групп к калибровочным преобразованиям векторных полей привлекательна, но, по-видимому, приводит к трудностям сразу, как только принимается, что калибровочные поля дают соответствующие частицы, лишенные массы. Единственным известным примером физической частицы такого класса является фотон. Трудно согласиться, что это возражение будет преодолено полным уничтожением [2] калибровочной инвариантности, которая служит единственным обоснованием введения калибровочных полей. Но эту дилемму можно обойти. Автор уже отмечал, что если связь достаточно сильна, то калибровочно инвариантные системы электромагнитного, или, выражаясь более общо, абелева типа, не требуют наличия сопутствующих частиц с нулевой массой [3]. Вопрос заключается в том, существует ли аналогичная возможность для неабелевых групп. Для рассмотрения этой проблемы необходимо по крайней мере полное знание операторных свойств калибровочного поля, рассматриваемого в качестве физической квантовомеханической системы без ссылок на приближение слабой связи. Такие перестановочные соотношения неизвестны. И совершенно не тривиален вопрос о существовании внутренне не противоречивой квантовой теории поля вообще для систем допускающих неабелеву калибровочную группу. Но на этот вопрос нельзя ответить, пока не найден набор перестановочных соотношений, так как до этого момента остается неизвестной с необходимой полнотой природа операторного описания — необходимого элемента полноты. Цель данной статьи состоит в том, чтобы установить такие перестановочные соотношения, однако мы не будем касаться более трудного вопроса о согласованности.