2. Условие для коммутатора

Рассмотрим полевую систему, фундаментальные динамические переменные которой подчиняются в равные моменты времени коммутационному или антикоммутационному соотношению вида

где — числовая матричная функция. Пусть система характеризуется эрмитовым оператором плотности и импульса, причем пусть операторы импульса

и углового момента

подчиняются перестановочным соотношениям, соответствующим группе 3-мерных трансляций и вращений:

Смысл этих операторов как операторов трансляций и вращений можно также выразить в виде следующих соотношений:

где конечномерные эрмитовы спиновые матрицы подчиняются перестановочным соотношениям для углового момента.

Теперь мы в качестве достаточного условия инвариантности относительно группы собственных ортохронных преобразований Лоренца утверждаем, что эрмитов оператор плотности энергии подчиняется в равные моменты времени условию для коммутатора

по крайней мере для систем, которые мы рассматриваем, т. е. для систем полей, спин которых равен или 1. Вместе с тем необходимо, конечно, чтобы оператор был 3-мерной скалярной функцией операторов поля в данный момент времени и не зависел явно от координат.

Последнее свойство означает, что оператор энергии

подчиняется соотношению

Более того, три инфинитиземальных оператора преобразования Лоренца

очевидно, образуют 3-мерный вектор, и, таким образом,

в добавление к этому

В системе перестановочных соотношений для десяти инфинитиземальных операторов неоднородной группы Лоренца

недостает коммутаторов и именно эти коммутаторы можно установить из условия для коммутатора с плотностью энергии.

После интегрирования по 3-мерной области изменения переменной х условие для коммутатора приобретает вид

что фактически означает введение локального сохранения энергии

Последующее интегрирование по переменным (после умножения на Дает

или

Если добавочный множитель ввести и при интегрировании по х, то в результате мы получаем

что эквивалентно следующему равенству:

Это есть выражение тензорного характера в терминах инфинитиземальных преобразований. Умножение на и последующее интегрирование по х теперь дает

что завершает набор перестановочных соотношений, которым подчиняются инфинитиземальные лоренцовы операторы.

Эти свойства унитарной группы совместно с инвариантностью фундаментальных перестановочных соотношений для поля относительно унитарных преобразований заключают в себе содержание требования лоренца-инвариантности.

Можно заметить, что коммутаторное уравнение для плотности энергии могло бы содержать добавочные члены, которые не дают вклада в различные 3-мерные интегралы. Однако подобные члены не появляются для систем, которые мы сейчас рассматриваем, а именно для векторных калибровочных полей, взаимодействующих с полем спина .