13. ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЧАСТИЦ

(доклад раппортера на 11-й Международной конференции по физике высоких энергий, ЦЕРН, Женева, 1962)

Б. д’ ЭСПАНЬА

1. Определения

а. Общие требования. Разрешите мне коротко резюмировать общие положения. Группы, исследовавшиеся в последние годы, практически все являются компактными группами Ли, которые, помимо всего прочего, непрерывны и описываются унитарными матрицами Поэтому не возникает проблем, связанных с инвариантностью теории свободного поля. Кроме того, это оказалось удачным ограничением с точки зрения практических применений, поскольку мы располагаем весьма ограниченным выбором между группами или семействами групп. Благодаря этому вопрос о том, которая (если вообще какая-либо) из них применима в физике, в принципе может быть решен путем последовательного исключения.

Относительно менее важным пунктом является унимодулярность: должны ли мы требовать выполнения условия или нет? У меня нет времени обсудить этот вопрос, однако я замечу, что на практике это не приводит к особым различиям, так что можно поступать как угодно. Золотым правилом здесь может служить сокращение до минимума необходимых математических выкладок. Если потребовать, чтобы условие выполнялось (что обычно приводит к упрощению), то оказывается, что барионное число В нельзя включить в группу, а его сохранение следует ввести как отдельный постулат.

б. Определение. Возьмем в качестве примера группу изоспина, которая соответствует т. е. 3-мерным вращеничм, Здесь мы имеем серию

Что касается самой группы, то она имеет определенное число параметров, которое, конечно, совпадает с числом

инфинитиземальных операторов для изоспина). Это число равно 3 для для для Все это достаточно хорошо известно. Менее привычными, но крайне важными для нас будут следующие понятия.

1. Ранг группы, представляет собой число независимых аддитивных квантовых чисел, сохранение которых определяется инвариантностью относительно преобразованной группы. Например, изоспин образует группу ранга 1, потому что в этом случае имеется только одно подобное число, именно не будет аддитивным в нашем смысле: это длина вектора).

2. Регулярное представление группы. Пусть — какой-то изоспиновый мультиплет ( и т. д.). Рассмотрим три объекта: Эти объекты образуют вместе триплет, т. е. дают базис представления 3 данной группы. Представление, которое можно построить таким методом, называют регулярным (или «сопряженным») представлением. Его мерность, разумеется, равна числу параметров группы.

В случае групп, более широких, чем изоспиновая, для которых изоспин оказывается подгруппой, представления связаны с супермультиплетами. Каждый супермультиплет, конечно, возникает как соединение изоспиновых мультиплетов. В табл. 1 дается основная информация относительно наиболее полезных групп.

Здесь является группой унитарных унимодулярных -матриц; — первая из особых групп Картана: группа вращений в -мерном пространстве.

Таблица 1

в. Частично сохраняющиеся токи и векторные мезоны. Пусть — инфинитиземальные операторы группы. Если лагранжева функция инвариантна относительно этой группы, то легко показать, что токи вида

сохраняются, т. е. что удовлетворяются соотношения вида

(здесь суммирование 2 распространяется на все поля супермультиплета которые входят в . В случае изоспина эти три величины представляют собой обычные сохраняющиеся векторные токи. В случае более широкой группы непосредственно видно, что число подобных токов как раз равняется числу параметров группы и что в самом деле благодаря методу их образования они входят в регулярное представление группы.

Тогда легко показать [1], что, образуя коммутаторы этих токов друг с другом в один и тот же момент времени, можно перестраивать перестановочные соотношения между т. е. алгебру группы.

Идя дальше в этом направлении, можно сопоставить векторные мезоны частично сохраняющимся токам. Этого можно достичь, так же как в обычной электродинамической теории калибровочной инвариантности, вводя зависимость параметров группы от координат, иначе говоря, применяя так называемый прием Янга—Миллса обобщенный на группы, имеющие более широкий смысл, чем группа изоспина [1, 4, 5]. Тогда эти векторные мезоны также будут сведены в регулярном представлении. К сожалению, мы не знаем истинного смысла приема Янга—Миллса, а его связь с квантованными полями и тяжелыми векторными бозонами подвергалась сомнению, в частности новые соображения в этом направлении высказали Огиевецкий и Полубаринов, а на данной конференции — также Тейлор.